Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas analisis error dan peningkatan akurasi dalam sistem persamaan linear. Akurasi solusi komputasi terbatas oleh condition number dan relative error pada input. Konsep a topi dan b topi merepresentasikan nilai yang disimpan dalam komputer, sedangkan a dan b adalah nilai sebenarnya. Akurasi dapat ditingkatkan dengan menggunakan residual error, di mana faktorisasi LU atau eliminasi Gauss dengan pivoting dapat meningkatkan akurasi dengan memastikan elemen L tidak lebih besar dari satu. Praktisnya, akurasi juga dipengaruhi oleh mesin epsilon dan ukuran matriks.

Sekarang bagaimana dengan akurasi, jadi akurasi dari solusi.

hasil komputasi bisa pakai LU atau pakai eliminasi gauss,

Sementara x tanpa topi itu adalah solusi eksaknya,

Maka relative error x topi dikurang x dibagi dengan, ini saya pakai norm x,

normnya norm apapun, itu akan terbatas ke atas oleh condition number k tadi,

ingat condition numbernya itu, dikalikan dengan relative error pada input.

Input kita ada dua, yaitu a, dikurang a dibagi dengan a,

ditambah dengan b, dikurang b dibagi dengan b, ingat b adalah ruas kanan.

A topi ini adalah a yang dipegang oleh komputer,

yang disimpan di dalam komputer, sedangkan a ini yang seharusnya.

Misalnya kita maunya matrik kita itu sepertiga,

tapi sepertiga ga bisa direpresentasikan oleh komputer,

yang sepertiga versi komputernya itu namanya ditaruh dalam a topi.

Jadi ini adalah teori dasar pada akurasi, kenapa?

Karena kemarin kita sudah mempelajari bahwa relative error dari posisi output

dibagi dengan relative error input, itu akan sama dengan condition number.

Kalau saya ingin mengetahui berapakah relative error pada output,

yaitu pada hasil perhitungan saya x topi,

Nah, tentu saja ini adalah pendekan teoretis

yang kita tidak mudah untuk menghitung masing-masing.

Karena bagi komputer yang dia tahu cuma a topi ini saja, dia ga tahu ini.

Yang sebenarnya itu tidak bisa tidak pernah tersimpan dalam komputer.

Baik, sekarang yang secara praktis kita bisa titipkan akurasi itu

dengan menggunakan residual error sebagai berikut.

Nanti kita akan lihat bahwa akurasi akan ditentukan oleh beberapa parameter

yaitu mesin epsilon, artinya semakin kecil mesin epsilon dia akan makin akurat.

Kemudian yang kedua adalah ukuran dari matriksnya sendiri.

Jadi, kita bicara tentang akurasi yang lebih praktikal.

maka x dapat dianggap sebagai solusi eksak dari

bukannya A x tapi A plus E sama dengan B.

Jadi, dia solusi eksak bukan A x sama dengan B tapi A plus E.

Di mana matriks E itu akan terbatas oleh disini ada peran dari k

kemudian mesin epsilon saya tulis dengan mu

kemudian dia akan ada A ditambah L kali U.

Jadi, perhatikan bahwa ada beberapa hal yang perlu kita catat disini bahwa

akurasi akhirnya akan ditentukan oleh beberapa komponen.

Pertama, dia akan tergantung pada condition number tadi yang kita sudah

definisikan. Yang kedua, dia akan tergantung pada mesin epsilon.

Semakin kecil mesin epsilon makin akurat.

Semakin besar condition number semakin tidak akurat.

Akan terkontribusi juga pada hasil faktorisasi LU kalau kita menggunakan

LU faktorisasi tadi bahwa elemen-elemen L yang kita tekan dengan pivoting tadi

itu akan kecil. Tidak ada yang lebih besar dari satu elemen L.

Itu akan meningkatkan akurasi karena elemen L tidak ada yang lebih besar dari satu.

Sehingga dari ekspresi ini kita dapat menyimpulkan bahwa faktorisasi LU

ataupun eliminasi gauss dengan pivoting itu akan meningkatkan akurasi.

Jadi, bukan hanya menghindari pembagian dengan 0

tapi parsial pivoting pada saat yang sama akan meningkatkan akurasi.