Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas penerapan Aturan Gaussian untuk meningkatkan akurasi integral numerik pada interval -1 sampai 1. Metode Gauss mengembangkan rumus yang lebih akurat dengan memasukkan titik evaluasi ke dalam formulanya, tidak ditetapkan terlebih dahulu. Melalui proses turunan rumus untuk interval -1 sampai 1, diperoleh rumus akurat dengan W1=1, x1=√(1/3), dan x2=-√(1/3). Dengan menggunakan rumus ini, integral numerik dapat dihitung dengan lebih akurat daripada metode klasik seperti trapezoid.

Pada pembahasan sebelumnya, kita sudah melihat tentang akurasi dari metode klasik, midpoint, trapezoid, dan Simpson.

yang akurasinya kita sudah lihat akan proporsional dengan lebar interval, ada yang pangkat 2, ada yang pangkat 3, ada yang pangkat 5, gitu ya.

Nah, kita juga sudah melihat kalau mau meningkatkan akurasi, kita perkecil subintervalnya,

sehingga kita memperoleh apa yang disebut dengan composite atau repeated rules.

Nah, sekarang ada cara lain sebetulnya untuk meningkatkan akurasi, yaitu kita tetap menggunakan jumlah titik yang kita batasi, katakanlah 2 atau 3 saja,

tapi kita ingin agar akurasinya lebih tinggi daripada yang kemarin sudah kita lihat, yaitu yang metode klasik, gitu ya.

Nah, ini tekniknya adalah, kalau pada metode Newton-cotes atau metode klasik, titiknya kita tentukan terlebih dahulu,

saya ingin menghitung di titik tengah, midpoint itu kan titik tengah antara A dan B.

Trapezoid sudah menetapkan juga, saya harus hitung evaluasi di A dan B.

Simpson juga sudah menetapkan A, B, dan titik tengah antara A dan B.

Nah, ada teknik lain, metode Gauss, mengatakan bahwa kalau ingin mendevelop rumus yang lebih akurat,

maka titik di mana FD evaluasi itu harus menjadi bagian dari pengembangan formulanya, jangan ditetapkan terlebih dahulu.

Ini yang akan kita kaji sekarang, yang kita sebut dengan Gaussian.

Nah, tentu saja untuk mengembangkan rumus tersebut, kita masih akan menggunakan prinsip-prinsip interpolasi polinomial, gitu ya.

Jadi, kita akan sekarang mencoba merumuskan atau membuat rumus.

Kita akan membuat rumus seperti ini, A, B integral A, B, F, X, D, X.

Sekarang, itu akan sama dengan, katakanlah saya perlu berapa sih koefisiennya yang pertama,

dan di mana titik itu harus saya hitung, F1, ditambah dengan berapa koefisien kedua,

dan di mana titik itu harus dihitung kedua.

Jadi, saya tidak ambil bahwa X1-nya harus A, X2-nya harus B, seperti trapezoid,

tapi saya akan tentukan X1 dan X2, sedemikian sehingga rumus ini paling akurat.

Nah, ternyata untuk mengembangkan rumus seperti ini akan sangat ribet,

kalau langsung kita bekerja pada interval A, B yang sembarang.

Nah, untuk mendekati persoalan ini, maka saya turunkan dulu rumus untuk interval min 1 sampai 1,

kemudian dari rumus itulah nanti kita baru generalize untuk A, B.

Jadi, saat ini kita akan turunkan rumus bagaimana?

Integral min 1 sampai 1 fx dx dengan struktur yang sama, katakanlah W1 fx1 ditambah W2 fx2.

Perhatikan bahwa prinsip yang sekarang kita bicarakan ini bisa kita kembangkan,

gimana kalau saya nanti mau pakai tiga titik, tambahkan aja nanti ada W3 plus fx3.

Tapi, untuk saat ini kita hanya akan kasih contoh dimana saya menggunakan dua titik saja.

Namun, perhatikan bahwa saya bisa meningkatkan akurasi, saya bisa paksa bahwa rumus saya ini harus akurat.

Jadi pertama, dia harus exact jika f adalah fungsi konstan.

Karena dia fungsi konstan, bisa saja saya ambil untuk tidak menghilangkan sifat umum, ambil aja fx sama dengan 1.

Artinya apa? Pada saat f sama dengan 1, fx sama dengan 1 berarti integral min 1 sampai 1 dE itu kan harus sama dengan W1 ditambah W2 kan?

Karena fx1 sama dengan 1, fx2 sama dengan 1.

Tapi saya tahu integral min 1 sampai 1 dx itu kan sama dengan 2.

Berarti W1 tambah W2 sama dengan 2, saya dapatkan satu persamaan pertama.

Kenapa? Karena tujuan saya harus mencari berapa W1, berapa x1, berapa W2, berapa x2.

Selanjutnya, saya juga dengan analogi yang sama dipaksakan bahwa harus exact juga pada saat fx sama dengan x.

Artinya apa? Integral min 1 sampai 1 xdx itu akan sama dengan W1 kali x1 karena fx sama dengan x berarti fx1 sama dengan x1 ditambah W2 kali x2.

Tapi integral dari ini kan sama dengan 0.

Saya punya persamaan yang kedua sekarang.

Jadi W1 tambah W2 sama dengan 2, tapi W1 x1 ditambah W2 x2 harus sama dengan 0.

dx berarti W1 x1 kuadrat ditambah W2 x2 kuadrat harus sama dengan,

Integral dari x kuadrat dari min 1 sampai 1 ini adalah 2 per 3.

Oke, ini saya namakan persamaan 1, ini persamaan 2, ini persamaan 3.

Saya sudah punya 3 persamaan padahal saya punya 4 parameter unknown di sini, masih kurang.

Berarti saya bisa paksa juga agar dia exact bukan hanya sampai x kuadrat tapi juga sampai x pangkat 3.

Jadi pada saat x pangkat 3 berarti integral min 1 sampai 1 x pangkat 3 dx

ini akan sama dengan W1 x1 pangkat 3, W2 x2 pangkat 3 itu harus sama dengan 0.

Karena integral x pangkat 3 dari min 1 sampai 1 adalah 0.

Oke, sekarang saya punya 4 persamaan dengan 4 unknown.

Tapi sistem persamaan saya adalah non-linear, bukan linear ini.

Ada interaksi antara W1 dengan x1 dan di sini bahkan ada x1 kuadrat, x1 pangkat 3.

Jadi ini adalah sistem persamaan non-linear.

Nah gimana caranya menyelesaikan sistem persamaan non-linear ini secara manual?

Saya sekarang akan misalkan, misal x1 dan x2 adalah akar dari ax kuadrat plus bx plus c sama dengan 0.

Kita tahu bahwa persamaan kuadrat ini ax kuadrat plus bx plus c sama dengan 0 itu bisa memiliki 2 akar.

Nah saya masuk misalkan x1 ini dan x2 ini sama dengan yang lainnya adalah akar dari suatu persamaan kuadrat.

Masalahnya sekarang seolah-olah saya nambah masalah.

Saya enggak tahu berapa a kecil, berapa b, berapa c.

Mungkin ada yang akan menyatakan tadinya punya 4 unknown sekarang punya tambahan 3.

Ternyata enggak, justru ini yang akan membantu kita untuk mencari x1, x2 terlebih dahulu.

Coba perhatikan ke bawah ini ada w1, ada w1 x1, ada w1 x1 kuadrat.

Jadi kalau persamaan 1 saya kalikan dengan c, persamaan kedua saya kalikan dengan b,

persamaan ketiga saya kalikan dengan a, kemudian saya jumlahkan ke atas.

a dikali w1 x1 kuadrat kan, a kali w1 x1 kuadrat ditambah.

b kali w1 x1 ditambah c kali w1, ini yang ini.

Yang ini saya harus tambahkan juga, a kali w2 kali x2 kuadrat ditambah b kali w2 x2 ditambah c kali w2.

Sudah selesai dan ini harus sama dengan apa?

2 per 3 kali a, 2 a per 3 ditambah 0 kali b ditambah 2 kali c ditambah 2 c.

x1 adalah akar dari ax kuadrat plus bx plus c.

Jadi kalau saya keluarkan w1 dari sini maka akan ada w1 kali ax1 kuadrat tambah bx1 tambah c.

Berarti yang ini akan 0, karena dia akar.

Sama aja dengan ini, jadi ini akan sama dengan 0.

Berarti 2 a per 3 ditambah 2 c akan sama dengan 0.

Yang kedua saya turun ke sini dengan cara yang sama.

Yang ini saya kalikan a sekarang, yang ini saya kalikan b, yang ini saya kalikan c.

w1 a kali w1 kali x1 pangkat 3 ditambah dengan b kali w1 kali x1 kuadrat ditambah c kali w1 kali x1.

Ini, tambah ini, tambah ini, berhenti di sini.

Sekarang yang kanannya adalah a kali w2 x2 pangkat 3 ditambah b kali w2 x2 kuadrat ditambah c kali w2 x2.