Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas contoh faktorisasi LDL^T untuk matriks simetrik dengan menggunakan eliminasi Gauss pada matriks simetris. Proses faktorisasi ini memungkinkan untuk menemukan matriks L dan D sehingga matriks asli dapat dipecah menjadi L x D x L transpose. Dalam proses eliminasi, hanya perlu mengupdate baris-baris di sebelah kanan diagonal, mengurangi biaya komputasi menjadi setengah dari matriks umum. Faktor D dalam faktorisasi tidak perlu disimpan dalam matriks, cukup dalam bentuk faktor baris atau kolom. Dengan prinsip dasar eliminasi, faktorisasi LDL^T untuk matriks simetrik dapat dilakukan dengan efisien.

1, 2, 3 tentu saja disini harus 2, disini harus 3.

Kemudian katakanlah disini 5, disini 4, disini 4, disini 7 misalnya gitu ya.

2, 2, 3, 3, 4, 4 ini disebut dengan matriks simetrik.

Tadi kita katakan bahwa saya pasti bisa menemukan L dan D.

Sedemikian sehingga matriks ini akan sama dengan L x D x L transpose

dimana D nya itu adalah matriks diagonal.

Namun sebelum itu saya ingin tunjukkan bahwa apa yang terjadi kalau saya lakukan eliminasi.

Coba kalau kita lakukan eliminasi gauss 1, 2, 3 ini akan menjadi 0.

Elemen baris kedua dikurangi 2 kali baris pertama.

Berarti 5 dikurang 4, 1 kemudian 4 dikurang 6 sama dengan minus 2.

Pada saat saya dapat min 2 ini adalah 4 dikurang 6 ini 2 kali 3.

Tapi disini harus dikulangi 3 kali 2 ini.

Karena ini saya tahu pasti sama maka saya ga perlu menghitung ini.

Tidak perlu lagi kita lakukan perhitungan.

Atau bahkan dalam proses algoritmanya ngapain kita hitung.

Jadi yang perlu saya hitung adalah ini, ini, kemudian ini yang saya perlu hitung.

Inilah yang menyebabkan bahwa faktorisasi LD, L transpose itu akan setengah lebih

Nah prinsip dasarnya sama yaitu eliminasi.

Cuma proses eliminasinya tidak perlu saya lakukan ke bawah.

Cukup mengupdate baris-baris yang di sebelah kanannya diagonal.

Jadi proses dari eliminasi saya adalah sebagai berikut.

Jadi pada saat saya katakanlah ini adalah pola dari eliminasinya.

Saya ingin melakukan pada kolom pertama maka update saya.

Berarti yang saya update adalah sini aja.

Jadi updating komputasinya menjadi cost setengah karena disini saya ga perlu lakukan.

Nah rasio-rasio yang tadi saya bicarakan dan akan disimpan di L itu ga perlu yang dari bawah.

Jadi rasionya itu karena dia simetrik sama aja dengan yang di kanan bagi sini.

Jadi 2 persatu rasio untuk elemen L sama saja dengan 2 persatu ini.

Berarti saya bisa definisikan sekarang L adalah matrik 1 0 0 asalnya kan ini matrik identitas.

Tapi pada saat pertama saya dapatkan 2 dibagi 1, 2, 3 dibagi 1, 3.

Kemudian saya dapat ini, ini saya tidak hitung.

Jadi perhitungan saya dari sini ke sini doang.

Dia diagonal tapi sebetulnya D ini tidak perlu kita simpan dalam matrik.

Jadi D nya itu cukup kita simpan dalam faktor.

D yang kedua setelah saya proses ini dapat 1 lagi.

Jadi saya dapat L nya ini, D nya ini, L transpose nanti.

So ini yang disebut dengan faktorisasi LDL transpose untuk matrik simetrik.