Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas contoh penerapan Metode Lagrange Multiplier dalam optimasi nonlinier. Dalam contoh kasus, Lagrang function digunakan untuk menemukan solusi optimal dengan mempertimbangkan fungsi objektif dan fungsi kendala. Penggunaan teknik seperti exact newton dan steepest descent dapat membantu dalam mengoptimalkan fungsi objektif yang telah ditentukan. Pentingnya memahami Jacobian dari fungsi kendala G dalam menentukan solusi optimal juga dibahas dalam video ini. Metode Lagrange memungkinkan penyelesaian persoalan optimasi tanpa persyaratan positive definiteness dari Hessian, dengan fokus pada memenuhi persamaan grad L sama dengan 0 dan solusi dalam ruang nul dari Jacobian G.

Nah, jadi kalau yang tadi untuk contoh yang kaleng tadi maka kita dapat tuliskan sebagai berikut.

Kebetulan lambda kita akan skalar karena X saya itu cuman satu,

sorry, G saya cuman satu, cuman variable saya Xnya ada R, ada H, ini mewakili X, kemudian lambda.

Ini sama dengan F X tadi adalah 2 V R kuadrat ditambah 2 V R kali H, ini adalah F Xnya.

Kemudian tadi kita udah tunjukkan bahwa G nya adalah dikurang lambda,

kalikan dengan volume V R kuadrat H itu harus sama dengan 250 cc misalnya.

Jadi ini adalah fungsi objektif kita yang baru dan ini tanpa kendala.

Fungsi ini tanpa kendala dan kita akan bisa cari dengan teknik-teknik yang apakah pakai exact newton,

apakah mau pakai steepest descent atau quasi newton dan sebagainya.

Jadi tidak ada hal baru dalam hal ini tinggal kita plug in ganti aja ini.

Objektif fungsinya kita ganti dan tentu saja akibat dari perubahan ini kita memiliki variable yang lebih,

yaitu ada tambahan lambda, lambda dalam hal ini namanya skalar.

Setelah ketemu nanti ada R, H dan lambda yang lambdanya tidak perlu kita pakai,

kita cukup menggunakan R dan H yang kita cari akan menentukan dimensi dari persoalan canning problem kita tadi.

Kalau misalnya kita mau selesaikan pakai exact newton karena ini kecil,

maka secara manual pun masih bisa kita turunkan dengan mudah.

Jadi kalau kita pakai exact newton saya harus cari dulu grad dari L.

Ini akan ada tiga elemen, yang pertama saya turunkan terhadap R,

ini akan menjadi 4V R ditambah dengan 2V H, kemudian dikurang 2V R lambda H,

Kemudian saya turunkan terhadap H, saya akan dapat 2V R,

kemudian dikurangi dengan lambda V kali R kuadrat.

Kemudian terakhir saya turunkan terhadap lambda, ini adalah V R kuadrat H minus 250.

Jadi ini adalah grad dari fungsi L kita, fungsi lagrang kita.

Dan kita ingin tahu solusi dari grad ini sama dengan 0.

Untuk itu kita akan mencari kalau pakai exact newton kita perlu mencari Hessian.

Untuk mencari Hessian ini akan ada 3 kali 3 matriknya.

Yang pertama adalah ini kita turunkan terhadap R lagi,

kita akan dapat 4P, kemudian ini adalah minus 2P lambda H,

Kemudian elemen keduanya adalah saya turunkan ini terhadap H,

berarti 2P, kemudian di sini minus 2P R lambda,

Sudah saya turunkan ini terhadap R, terhadap H,

sekarang terakhir saya turunkan terhadap lambda,

Kita kemarin sudah tunjukkan juga bahwa Hessian itu pasti simetrik,

berarti di bawah sini akan ada 2V minus 2V R H,

dan di sini saya akan dapat minus 2V R H,

di sini tidak ada H, jadi saya akan dapat ini 0,

kemudian saya turunkan, ini terhadap R sudah, terhadap H,

dan dia adalah simetrik, berarti di sini adalah V R kuadrat juga.

Terakhir, saya dapatkan ini saya turunkan terhadap lambda,

ini pasti 0, karena tidak ada lambda di situ.

jadi Hessian saya memiliki 0 di diagonal,

yang tentu saja ini tidak mungkin akan positive definite.

Jadi fungsi kita ini pasti tidak mungkin berupa,

apa namanya, matrik yang positive definite.

jadi kalau kemarin pada saat yang unconstraint,

syarat perlu dan cukup untuk titik optimizer dalam hal ini minimizer

jadi kemarin kita sudah lihat grad harus sama dengan 0,

dan Hessiannya itu adalah positive definite.

Ini adalah syarat perlu untuk titik minimum.

Karena kita berhadapan dengan Legrang yang seperti ini,

maka tidak disyaratkan lagi untuk positive definitenya dari Hessiannya,

tapi sepertinya ada sesuatu yang fishy di sini,

Oke, jadi ini adalah terhadap R, terhadap H, terhadap lambda.

Yang jelas kita sudah lihat di sini bahwa

matrik Hessiannya tidak mungkin akan positive definite,

dan itu memang tidak dipersyaratkan untuk Legrang function kita.

Sebetulnya persyaratan untuk menjadi titik optimum atau titik minimum

solusi kita berada dalam ruang nulnya Jacobian dari H.

jadi Jacobian dari G itu yang akan menentukan persyaratan tambahannya

bahwa solusi kita berada dalam nul space.

Karena kita harus selalu memenuhi bahwa GX itu akan sama dengan 0,

Jadi, dia harus di mapnya DX saya harus memenuhi constraint.

Dia berada dalam nul spacenya Jacobiannya fungsi constraint G.