Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas contoh persoalan interpolasi polinomial dengan menggunakan data pada titik-titik tertentu. Dalam proses interpolasi, penting untuk mengetahui ruang fungsinya dan basis yang digunakan. Interpolasi polinomial memanfaatkan sistem persamaan linear untuk mencari koefisien yang sesuai dengan data yang diberikan. Dengan memahami konsep ini, kita dapat melakukan interpolasi pada titik-titik data yang tidak diketahui seperti pada titik 2,5. Melalui penggunaan polinomial sebagai ruang fungsi, kita dapat mendekati berbagai jenis fungsi secara efektif.

Jadi misalkan kita punya tiga data, yaitu di titik 1, 2, dan 3 dimana nilainya kira-kira seperti ini.

Di titik 1 dia adalah 1 juga, di titik 2 dia setengah katakanlah, di titik 3 itu dia 4 misalnya.

Jadi ini adalah data saya, ada tiga, yaitu pada saat x sama dengan 1 maka y nya sama dengan 1,

pada saat x sama dengan 2, y nya sama dengan setengah, pada saat x sama dengan 3, y nya sama dengan 4.

Nah, karena saya punya tiga data, maka saya harus memiliki tiga basis.

Katakanlah basis yang akan saya pakai adalah sebagai berikut, jadi basis pertama ini adalah x kuadrat katakanlah minus 1,

kemudian basis keduanya itu adalah x plus 2, sorry x minus 2, kemudian basis ketiga itu adalah 3 minus x.

Oke, misalkan, sebentar, saya harus menjamin bahwa antara basis saya ini saling bebas linier satu sama lain, katakanlah 3 minus 2 x ya.

Jadi x minus 2, 3 minus 2 x, itu tidak mungkin saya mendapatkan basis yang ketiga ini merupakan skalar kali basis yang pertama.

Jadi kalau ini saya kalikan 2 maka ini akan minus 4, jadi tidak mungkin dia akan mendapatkan 3 misalnya seperti itu.

Dan ini tentu saja kuadrat, tidak mungkin perkalian skalar dari salah satu dari ini akan sama dengan yang x kuadrat.

Jadi ketiga fungsi ini benar merupakan basis, karena dia saling bebas linier.

Nah baik, sekarang bagaimana caranya saya harus mengkonstruksikan suatu px, yaitu A, katakanlah yang pertama dikalikan dengan basis pertama,

yaitu x kuadrat minus 1 ditambah B dikalikan x minus 2, ditambah C dikalikan 3 minus 2 x.

Yang saya tidak tahu apa, yang saya tidak tahu berapakah A, B, dan C, basisnya saya sudah tahu, ini given basisnya.

Nah sekarang bagaimana cara mencari A, B, dan C?

Nah menurut tadi yang barusan kita sudah tunjukkan caranya adalah kita masukkan data, jadi di sini adalah A, ini B, ini C.

Di sini adalah data ruas kanannya, yaitu 1, setengah, dan 4.

Jadi yang pertama, masukkan data pertama pada basis pertama.

Coba, data yang pertama x nya adalah 1, dan basisnya adalah x kuadrat minus 1, jadi kalau saya masukkan di sini, ini akan 0.

Kenapa? Karena 1 kuadrat dikurang 1 adalah 0.

Sekarang di sini berapa? Ini akan sama dengan minus 1, kenapa?

Kalau 1 saya masukkan ke x, 1 dikurang minus 2 adalah minus 1.

Di sini, dia akan 3 dikurang 2 kali 1, ini akan sama dengan 1.

Jadi ini adalah baris pertama dari matriks coefficient kita.

Selanjutnya, titik yang kedua adalah x sama dengan 2, 4 dikurang 1 akan 3, kemudian 2 dikurang 2 ini akan 0.

Kemudian 3 dikurang 4, jadi 2 kali 2, 4, 3 dikurang 4 adalah minus 1.

Terakhir, saya punya x nya sama dengan 3, jadi kalau x nya sama dengan 3, berarti ini akan 8.

Kemudian, di sini akan 1, 3 dikurang 2, dan yang terakhir adalah 3 dikurang 6, jadi minus 3.

Nah, setelah kita dapat ini, kita bisa mencari dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini.

Jadi misalnya, saya bisa dengan mudah mengeliminasi A atau B gitu pada persamaan-persamaan ini.

Perhatikan bahwa persamaan pertama itu hanya memuat B dan C, persamaan kedua hanya memuat A dan C, persamaan ketiga memuat A, B, dan C gitu ya.

Nah, ini dari sini kita bisa mendapatkan berapa A, B, dan C dengan menyelesaikan sistem persamaan linear ini.

Nah, setelah A, B, dan C kita punyai, maka kita bisa masukkan substitusin kemarin, ini A nya berapa, B berapa, dan C berapa.

Kembali ke persoalan interpolasi tadi, misalnya saya tidak tahu berapa nilai di titik 2,5.

Berapakah nilai di 2,5 gitu ya, jadi data di X sama dengan 2,5, ini kita tidak tahu.

Caranya kita interpolasi dengan memasukkan titik X sama dengan 2,5, dimana A, B, dan C nya sudah kita peroleh dari data tadi.

Nah, inilah yang kita sebut dengan nilai interpolasi pada titik 2,5.

Nah, perhatikan bahwa pada titik-titik data dia harus sama, jadi pasti akan sama dengan 1 apabila X dimasukkan 1.

Jadi, kalau X nya dimasukkan 1, jelas, maka nilai P1 itu harus sama dengan 1.

Karena sistem persamaan linear tadi, kita menemukan A, B, dan C itu dengan memaksa agar A, B, dan C memenuhi sistem persamaan linear ini.

Jadi begitu, secara singkat, jadi kata kuncinya dalam persoalan interpolasi ini, pertama saya harus tahu ruang fungsinya apa,

Nah, perhatikan bahwa ruang fungsi dengan dimensi berhingga, dengan dimensi sama dengan jumlah data tadi banyak sekali.

Jadi, kita bicara-bicara tentang fungsi-fungsi sederhana seperti polinomial atau fungsi-fungsi rasional.

Ada 4, mungkin 4 kelas fungsi yang kita kenal, ada fungsi-fungsi trigonometri, ada fungsi-fungsi eksponensial, beserta inversenya yaitu logaritmik.

Jadi, biasanya kebutuhan dalam interpolasi, kita sudah punya pertimbangan, pilihan terhadap ruang fungsinya.

Misalnya untuk fungsi-fungsi yang kita tahu fenomenanya periodik, kita akan menggunakan fungsi trigonometri sebagai ruang yang digunakan menginterpolasi.

Kemudian fungsi yang cenderung menunjukkan tingkal laku selalu monoton, baik itu naik maupun turun,

biasanya kita akan menggunakan eksponensial model atau fungsi eksponensial, dan selebihnya sebetulnya fungsi polinomial itu bisa selalu kita gunakan untuk mendekati fungsi apapun.

Seperti mana kita sudah tunjukkan di kalkulus bahwa ada konvergensi dari barisan polinomial, dari polinomial terhadap semua fungsi yang kontinu pada suatu selang tertentu.

Nah, sehingga pada bahasan ini kita akan fokus pada ruang fungsi yang paling sederhana yaitu polinomial.