Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas contoh pivoting parsial dalam sistem persamaan linear dengan ilustrasi penggunaan eliminasi dan pertukaran baris pada matriks. Proses ini menghasilkan matriks U sebagai hasil akhir, di mana rasio-rasio pada proses faktorisasi LU disimpan sebagai elemen dari matriks L. Pertukaran baris pada matriks juga mempengaruhi elemen-elemen L, namun elemen diagonal tetap satu. Implementasi pada Octave untuk faktorisasi L-U dengan pivoting parsial juga dibahas dalam video ini.

Nah, sekarang saya akan coba ilustrasikan sekilas dengan contoh ini gitu ya.

Kemudian setelah itu kita akan bikin code atau program

yang akan mengimplementasikan ide dari proses eliminasi dengan pivoting.

Oke, coba sekarang perhatikan bahwa setelah dapat ini,

ini selesai kita akan memperoleh 3, 6, 0 tidak akan berubah.

Demikian juga yang 2 tidak berubah, jadi ruas kanannya tidak berubah di baris pertama.

Tapi yang ini akan menjadi 0, 2 akan menjadi 0.

Berarti kan baris kedua dikurangi 2 per 3, 2 dibagi 3, kalikan baris pertama.

Sehingga yang ini 5 dikurangi 2 per 3, kalikan 6, 2 per 3 kali 6 itu 4, berarti 5 kurang 4 sama dengan 1.

Demikian juga yang ini, 8 dikurangi 2 per 3 kali 10, 8 kali 20 per 3, 20 per 3 itu kan 6, atau 6 2 per 3.

Yang ini, minus 1 dikurangi dengan 4 per 3, berarti minus 10 per 3.

Kemudian 1, ini akan menjadi 0 juga, sama prosesnya, yaitu kita harus mengurangi baris ke 4 ini dengan 1 per 3,

karena ini 1 bagi 3, yaitu 1 per 3 dari baris pertama.

Jadi di sini 4 dikurangi dengan 2, dapat 2, 7 dikurangi dengan 10 per 3, 10 per 3 itu adalah 3 1 per 3,

Nah, sekarang saya lihat bahwa proses saya sekarang konsentrasi di sini, bahwa ini tadi belum saya hitung,

ini ada 2, ini ada 1, berarti ini lebih gede dari ini, ini lebih besar, sehingga ini saya harus tukar lagi.

Saya harus bertukarkan kembali, sehingga bentuk matriks saya, ini saya belum hitung,

sekarang 3 6 10 jelas tidak akan berubah.

Tapi yang ini sekarang menjadi 0 2 3 2 per 3, di sini yang belum saya hitung, di sini adalah 0 1 1 1 per 3,

Setelah itu baru saya lakukan eliminasi bagaimana menghilangkan atau mengenalkan 1,

yaitu 1 baris ini dikurangi setengah dari baris yang kedua dan seterusnya.

Sehingga kita akan dapatkan posisi terakhir kita adalah 3 6 10 2, kemudian 0 2 3 2 per 3,

ini yang belum saya hitung, ini akan jadi 0, ini jadi 0.

Karena 1 dikurang setengah ini, berarti sekarang 1 per 3 yaitu 4 per 3,

dikurangi dengan setengah dari 3 2 per 3.

Ini adalah hasil U terakhir, tentu saja ruas kanannya akan ikut dalam proses.

Dalam hal kita melakukan LU, faktorisasi LU,

rasio-rasio ini tadi kan akan kita simpan sebagai elemen dari L.

Jadi elemen-elemen dari matrik L yang bentuknya segitiga bawah ini,

ini akan berisi rasio-rasio, disini akan satu semua, elemen dari L itu diagonalnya satu,

Jadi kalau tadi disini ada yang pertama 2 per 3, jadi isi disini 2 per 3.

Yang ini tadi 1 per 3, ini isinya adalah 1 per 3.

Ini akan mengisi elemen-elemen dari L, sedangkan ini nanti adalah elemen-elemen U.

Nah, perhatikan bahwa disini saya melakukan pertukaran baris,

sehingga pada saat saya melakukan pertukaran baris ini, maka ini juga harus saya tukar.

Jadi L nanti akan berubah menjadi 1 per 3 nya naik ke sini, 2 per 3 nya turun kemari.

Tapi pertukaran itu tidak boleh saya ikuti dengan elemen diagonal disini, jadi yang ini jangan di swap.

Elemen diagonalnya akan tetap satu semua.

Jadi yang boleh ditukar atau yang perlu ditukar itu adalah dari posisi K-1 ke belakang.

Jadi kalau kita bekerja pada posisi pertama, kolom pertama tidak ada yang perlu ditukar,

karena belum ada, tapi waktu saya bekerja pada kolom kedua, lihat di kolom pertama.

Kalau saya bekerja pada kolom ketiga, nanti misalnya matriknya 4 x 4,

maka kolom kedua, kolom ketiga dari L yang harus saya swap, dan itu pun yang di bawah diagonal.

Jadi yang diagonal tidak boleh disertakan.

Oke, sekarang kita lihat bagaimana implementasinya pada Octave untuk melakukan

atau mengimplementasikan elemennya Sigauss maupun faktorisasi L-U dengan pivoting parsial.