Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas contoh penggunaan Spline Piecewise Interpolation dalam menganalisis data X dan akar X pada titik-titik tertentu. Melalui penggunaan spline natural, penyelesaian dilakukan dengan mencari nilai K0, K1, dan K2. Dengan memanfaatkan informasi dari S0 dan S1, diperoleh persamaan untuk mencari nilai A0, A1, B0, dan B1 sebagai fungsi dari K1. Langkah terakhir adalah mencari nilai K1 dengan memanfaatkan persamaan S0 aksen di titik 1 dan S1 aksen di titik 1. Dengan demikian, konstruksi sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan kompleksitas yang lebih efisien.

Baiklah, dengan menggunakan rumusan yang terakhir ini kita bisa menyelesaikan contoh soal yang tadi belum kita selesaikan.

Ingat tadi soalnya atau informasi yang data yang kita miliki adalah X dan akar X.

Dan di tiga titik yaitu X0, X1, dan X4 dengan nilai 0, 1, dan 2.

Ini datanya, saya kan menggunakan spline natural, jadi K0 sama dengan K2 sama dengan 0,

berarti yang saya tidak tahu berapakah K1, yaitu turunan kedua, jadi K1 itu berapa.

Perhatikan bahwa K1 itu sama dengan S0 double action di titik X1 atau S1 double action di titik 1,

Baik, sekarang kita lihat rumus untuk S0 menurut ini, S0 X itu kan sama dengan K1 dibagi dengan 6,

X1 dikurang X0, X1 kurang X0 berarti 1, dikalikan dengan X dikurang 0, jadi pangkah 3 ditambah dengan K0,

dibagi dengan 6, ini min 1 karena X0 adalah 0, X1 adalah 1, kemudian X dikurang 1 pangkah 3 ditambah dengan A0 X

yang kita belum cari ditambah dengan B0 yang juga kita belum cari.

Saya sudah tahu K0 ini sama dengan 0, berarti suku ini akan hilang, tinggal saya bagaimana mencari A0 dan B0.

Nah, untuk mencari A0, saya sekarang untuk mencari A0 saya masukkan saja bahwa S0 di titik 0 itu kan sama dengan 0.

Oke, kalau saya masukkan Xnya 0, ini akan 0, ini jelas ini 0 tadi, ini akan 0 juga, berarti saya dapat B0 sama dengan 0.

Kemudian yang kedua, S0 di titik 1 itu akan sama dengan 1, jadi ini 1 pangkah 3, 1 saya dapatkan K1 per 6,

kemudian ditambah dengan A0 kali 1, karena pada saat 1 ini akan 0, K0 sudah 0 anyway, jadi ini tidak berpengaruh,

ditambah B0, B0 nya adalah 0, ini harus sama dengan 1, berarti saya tahu sekarang bahwa A0 itu simply minus K1 dibagi dengan 6,

jadi kalau saya sudah tahu berapa K1, maka A0 saya tahu, B0 sudah dapat dari sini, A0 sudah dapat.

Nah, masih belum kita temukan K1 nya berapa, tapi sebelum itu coba kita cek apa yang terjadi pada S.

Oke, sekarang kita lihat bagaimana dengan S1 X, S1 X menurut rumus, ini akan sama dengan K2, dibagi dengan 6,

X2 nya adalah 4, dikurang X1, kurang 1, dikalikan dengan X dikurang 1, pangkah 3,

ditambah K1, dibagi 6, 1 minus 4, X minus 4, pangkah 3, ditambah A1 X, ditambah B1.

Oke, nah kita akan gunakan informasi yang kita miliki tadi bahwa S1 di titik 1 itu harus sama dengan 1.

Artinya apa? Saya dapatkan yang ini akan 0 karena K2 0 anyway, tapi pada saat ini sama dengan,

excuse me, X nya sama dengan 1, berarti ini kan sama 1 minus 4, pangkah 3, ini 1 minus 4,

berarti tinggal 1 minus 4, 3 kuadrat, 9, K1 dibagi dengan 6, ditambah dengan A1,

ditambah dengan B1, itu harus sama dengan 1.

Kemudian S1 di titik 4, itu harus sama dengan 2.

Tapi karena K2 nya 0, maka ini juga akan tetap 0, saya masukkan ke sini, tapi ini akan 0.

Karena 4 kurang 4, berarti yang survive adalah tinggal 4, A1 ditambah B1 sama dengan 2.

Nah, dari dua persamaan ini, perhatikan yang ini kan saya bisa taruh di sana, A1 dan B1 saya bisa cari dari sini.

Ini akan mendapatkan berapa B1 dan berapa A1 sama dengan berapa B1 sama dengan berapa,

itu dapat dari sini, tapi sebagai fungsi dari K1.

Jadi yang tadi A0 masih sebagai fungsi dari K1, A1 dan B1 masih sebagai fungsi dari K1,

Jadi kuncinya terakhir adalah bagaimana kita menemukan K1.

Baik, nah sekarang kita lihat bahwa salah satu informasi yang belum kita gunakan,

sepertinya ada beberapa, yaitu S0 aksen di titik 1, itu harus sama dengan S1 aksen di titik 1.

Ingat tadi saya sudah memiliki sekarang karena A0 sudah sebagai fungsi dari K1, B0 nya 0,

A1 fungsi K1, B1 fungsi K1, jadi semuanya fungsi K1.

Jadi dari sini saya bisa mendapatkan sebetulnya berapa K1.

Oke, coba kita turunkan ini pada, mana tadi?

Pertama S0 di titik 1, S0 aksen, jadi ini saya turunkan dulu.

Berarti saya akan dapatkan 3 bagi 6, berarti setengah, jadi K1 bar 2,

dikalikan dengan X kawadrat, tapi 1 kawadrat, X kawadrat itu akan 1 kawadrat,

kemudian K0 nya 0 ini W, ditambah dengan A0, ini ada 0 ini W,

itu harus sama dengan S1 ini, saya turunkan di titik 1, ini akan 0 ini W, tinggal ini yang survive,

yaitu 3 bagi 6 setengah, bagi lagi, jadi K1 bar 2,

tapi di sini pada saat 1, berarti saya dapat 1 minus 4, itu adalah minus 3 kawadrat,

jadi adalah 9, kemudian ditambah dengan A1.

Oke, coba perhatikan, di situ kita akan dapatkan A0 itu tadi K1 per 6,

min K1 per 6, A1 belum kita cari, tapi sebagai fungsi dari K1,

ini sebagai fungsi dari K1, maka semuanya akan menuju pada pencarian untuk nilai K1.

Ini kalau kita lihat, 9 per 2 ini setengah,

9, 4 setengah dikurang setengah berarti kan 4 K1,

kalau saya bawa kesana semua, kemudian ditambah dengan A1,

dikurangi dengan, berarti ditambah K1 per 6, kemudian ini akan sama dengan 0.

Nah, coba kita lihat A1 berapa, supaya tuntas,

ini saya bisa eliminasi dengan mengurangkan ini dikurang ini, berarti B-nya akan hilang.

2 kurang 1, 1, B1 kurang 1, 1, 4 kurang 1, 3,

A1 dikurang 9 K1 per 6, itu akan sama dengan 1, berarti A1 sama dengan,

bagi 3, berarti 3 K1 per 6 dikurang, ditambah sepertiga.

Jadi A1 ini, itu adalah seperti 3 K1 per 6 berarti setengah sebetulnya,

jadi kita masukkan 4 K1, ditambah dengan setengah K1, ditambah sepertiga,

ditambah K1 per 6 sama dengan 0, 4 setengah ditambah 1 per 6, 9 per 2 ditambah 1 per 6,

berarti sama dengan 54, ditambah 2 per 12, 56 per 12,

berarti 56 per 12 K1 sama dengan minus sepertiga,

berarti K1 itu akan sama dengan 12 per 3, berarti minus 4 per 56,

bagi 4, 56 bagi 4, bagi 2 aja, 28, 2 per 2, 8 berarti sama dengan minus per 14,

Nah, setelah K1 dapat tentu saja S0 kita dapat, S1 kita dapat,

jadi S0 tadi ingat ininya saya hilangin karena K0 itu 0 anyway, jadi suku ini enggak ada,

kemudian yang S1 suku ini enggak ada karena K2 nya 0.

Begitu konstruksinya menjadi lebih mudah,

saya tidak ada sistem persamaan linier yang punya unknown yang sangat banyak tadi,

nah tapi kalau ini kita mau generalisir secara keseluruhan,

seperti saya katakan tadi dia akan membangkitkan suatu sistem persamaan linier

dengan matrik tridiagonal yang juga dapat kita selesaikan dengan kompleksitas order n atau linier.