Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas error dalam Interpolasi Polinomial pada Analisis Numerik, fokus pada akurasi dari interpolasi dalam perspektif aproksimasi. Konsepnya melibatkan pendekatan fungsi dengan polinomial order n menggunakan n plus 1 titik sampel. Fungsi error dalam interpolasi dijelaskan sebagai selisih antara fungsi asli dan polinomial interpolasi. Pembuktian error ini melibatkan teorema dasar dan sifat interpolasi polinomial. Selain itu, peningkatan order polinomial tidak selalu meningkatkan akurasi karena fenomena runga dapat mempengaruhi hasil interpolasi. Solusi alternatif adalah menggunakan piecewise interpolation atau interpolasi sepotong-sepotong, seperti spline cubic, untuk meningkatkan akurasi tanpa harus meningkatkan order polinomial secara signifikan.

Sejauh ini kita sudah mengkonstruksikan interpolasi polonomial dengan tiga macam basis yaitu basis standar,

kemudian basis lagrang, dan basis Newton.

Kita juga memodifikasi sedikit dari basis Newton, itu bisa kita kembangkan dengan memanfaatkan turunan

sehingga didapat apa yang kita sebut dengan Hermite atau Hermite Interpolations.

Nah, sekarang kita ingin melihat akurasi dari interpolasi tersebut,

tapi dalam perspektif aproksimasi, jadi bukan interpolasi persis, interpolasi saja,

tapi kita bayangkan bahwa kita ingin mendekati suatu fungsi yang kita ketahui dengan suatu polonomial.

Jadi konsepnya adalah, misalkan diketahui fungsi fx katakanlah,

kemudian kita ingin menginterpolasi fx, diinterpolasi dengan polonomial,

katakanlah pnx yaitu suatu polonomial order n, jadi kita ingin menginterpolasi.

Nah, untuk itu kita membutuhkan n plus 1 titik sampel, jadi selanjutnya,

kita ambil xy, fxy, fxy ini bisa juga kita namakan fe, adalah titik-titik interpolasi kita.

Artinya apa? Bahwa kita melakukan sampling dari fungsi f ini di titik-titik xy,

i-nya dari 0 sampai n, sehingga kita punya n plus 1 titik sampel dari fungsi ini.

Nah, kita akan langsung saja menunjukkan fungsi error, jadi kita definisikan sekarang,

ix yaitu fungsi yang merupakan selisih antara f dengan p, yaitu fx dikurang pnx.

Jadi, bisa kita pandang ax ini sebagai fungsi error dalam interpolasi,

jadi kalau karena saya ingin mendekati fx dengan pnx, maka selisih antara fx dengan pnx yaitu ax ini

kita bisa nyatakan sebagai error dalam interpolasi atau aproksimasi ini.

Nah, selanjutnya kita akan langsung saja merumuskan ataupun menuliskan rumus dari ax tanpa kita buktikan,

jadi maka ini semacam teorema sebetulnya, ax itu akan sama dengan turunan ke n plus 1 dari f pada suatu titik tertentu,

katakanlah titiknya itu namakan theta, jadi kita tidak tahu secara spesifik di berapa nilai theta,

tapi theta itu adalah suatu titik di antara x0 sampai xn, some point, jadi suatu titik tertentu.

Dibagi dengan n plus 1 factorial, dikalikan dengan x dikurang xi, dimana i dari 0 sampai dengan n.

Jadi, ini adalah deskripsi untuk fungsi error ini, jadi selisih antara fx dengan pnx itu akan sama dengan ini.

Nah, kita tidak akan buktikan, bagi yang tertarik ingin melihat buktinya bisa lihat di buku-buku teks,

tapi ide dasar dalam pembuktian itu adalah pemanfaatan dari teorema roll yang kita pernah pelajari dalam kalkulus.

Gimana kita membuktikan, paling tidak menemonstrasikan bahwa e atau fungsi error kita itu memenuhi sifat-sifat dari interpolasi?

Jadi, perhatikan bahwa karena p menginterpolasi f di titik-titik ini,

maka kalau saya masukkan x sama dengan xi, salah satu dari titik interpolasi, maka ini harus 0.

Kenapa? Karena p dan f itu harus sama nilainya pada titik-titik interpolasi.

Nah, kalau saya masukkan ke sini benar, jadi apabila x ini saya substitusi dengan suatu xj,

di mana xj itu salah satu dari xi ini, maka dia akan semangat 0, karena suatu saat j itu akan sama dengan i ini,

i berjalan dari 0 sampai n. Jadi, benar itu yang kita bisa demonstrasikan bahwa e paling tidak sudah memenuhi syarat interpolasi yang kita wajibkan.

Yang kedua, kita pernah juga menyatakan bahwa interpolasi polonimial itu bersifat projektif.

Artinya apa? Apabila fx ini adalah anggota dari polonimial order n, jadi salah satu dari polonimial order n atau kurang sebetulnya,

jadi kita bisa menyatakan bahwa fx itu berada dalam ruang polonimial order n, maka hasil interpolasinya itu harus sama.

Katakanlah, fx itu sebuah garis lurus, kita ingin interpolasi dengan p3, katakanlah suatu cubic.

Apakah hasilnya akan tepat sama antara p dengan f? Jawabannya pasti. Kenapa demikian?

Karena kalau fx ini adalah polonimial order 1 atau bergaris lurus, maka turunan ke n plus 1-nya di mana n-nya 3,

cubic berarti 3n-nya, maka turunan ke 4 dari suatu f yang linear akan 0.

Jadi, karena ini 0 maka ini akan 0. Kalau ini 0 artinya berimpit antara f dengan p.

Jadi, ini merupakan bukan bukti, tapi suatu demonstrasi bahwa fungsi error kita ini memenuhi properti atau sifat-sifat yang kita harapkan.

Nah, selanjutnya bagaimana caranya kalau saya ingin memperkecil error?

Sekilas kita akan lihat bahwa n ini pembagi dan n plus 1 faktorial itu pasti akan makin besar apabila n saya perbesar.

Tentu saja kita tidak bisa mengendalikan bagaimana nilai turunan di titik teta,

jadi itu akan sangat tergantung pada f tentu saja,

tapi paling tidak yang dapat saya simpulkan bahwa semakin besar n maka pembagi ini akan makin besar.

Mungkin kita akan berpikir bahwa makin besar n pasti akan lebih bagus, karena error makin kecil.

Nah, masalahnya adalah fungsi multiplikasi atau fungsi ini,

fungsi perkalian ini x dikurang x0 kali x kurang x1 sampai x kurang xn,

itu juga bisa explode, bisa rate atau kecepatan untuk meningkatnya atau nilainya makin tinggi,

itu bisa melampaui kecepatan dari faktorial ini.

Jadi, tidak berarti bahwa memperbesar n itu akan meningkatkan atau memperkecil error atau meningkatkan akurasi.

Nah, di buku-buku teks itu banyak digunakan apa yang kita sebut dengan fenomena runga,

jadi ada namanya fungsi runga, rung function ini.

Ini didefinisikan sebagai fx sama dengan 1 per mungkin x kuadrat ditambah a kuadrat gitu ya,

beberapa teks juga memberikan bobot disini, jadi ada suatu bobot konstantral positif disini,

tapi intinya adalah kita ingin mendekati suatu fungsi yang bentuknya kayak bell shape seperti ini,

Nah, ternyata kalau kita menggunakan titik-titik sampel yang uniform atau sama jaraknya,

tidak berarti makin banyak titik akan makin bagus.

Jadi, dikenal dengan fenomena runga, runga ponomena,

dimana di ujung-ujung di sekitar min 1 dan plus 1 ini akan terjadi semacam ringing atau wiggling seperti ini.

Jadi, meskipun dia memenuhi sifat fx i harus sama dengan px i,

jadi di titik-titik interpolasi pasti errornya 0,

tapi di antara dua titik interpolasi dia bisa akan terjadi spike atau peningkatan yang signifikan.

Nah, jadi kesimpulan yang dapat kita tarik disini bahwa meningkatkan order polinomial

Ada solusi yang ditawarkan ternyata untuk khusus kasus fungsi runga ini,

kita bisa memilih titik-titik yang lebih padat di ujung-ujung,

di sekitar min 1 dan 1 dia lebih dense, di tengah dia lebih sparse,

antara lain yang kita sebut dengan cbchef polinomial gitu ya.

Tapi, ini tentu saja dalam prakteknya tidak praktikal,

ingat bahwa persoalan interpolasi ini kan kita membutuhkan data di lapangan,

jadi kita akan mengambil sampel-sampel data,

bayangkan kalau ini tidak equally space akan sangat sulit kita menyampul mencari sampel data di ujung-ujung,

kalau jaraknya itu akan berbeda-beda gitu.

So, kita ambil kesimpulan saja bahwa memperbesar n itu tidak selamanya meningkatkan akurasi,

sehingga kita membutuhkan approach yang lain.

Yaitu kita akan maintain, mempertahankan order n ini tidak terlalu tinggi,

tapi kita ingin akurasi yang lebih baik dengan cara apa yang kita sebut dengan piecewise interpolation

Jadi, kalau saya ingin menginterpolasi dari pada suatu interval tertentu,

saya potong-potong dulu kemudian di masing-masing potongan itulah saya akan melakukan interpolasi

dengan polinomial yang order yang tidak terlalu tinggi.

Kita akan masuk ke topik berikutnya yaitu piecewise interpolation yang khususnya berbentuk splines atau spline cubic.