Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas ilustrasi persoalan kuadrat terkecil dalam analisis numerik. Konsep utama yang dijelaskan adalah mencari titik minimizer dari persamaan AX-B dan norm 2, dengan fokus pada jarak antara ruang kolom A dengan vektor B. Diperkenalkan pula konsep ruang kolom A (CA) dan cara mencari titik terdekat dalam ruang kolom. Penekanan pada pentingnya residual R yang ortogonal pada ruang kolom A untuk mendapatkan titik terdekat. Melalui persamaan normal, solusi dari least square problem dapat ditemukan meskipun ruang kolom tidak penuh.

Sekarang kita coba lihat lagi, saya masih mencari titik minimizer dari AX-B dan norm 2.

Perhatikan bahwa saya bicara tentang jarak antara ruang yang direntang oleh kolom-kolom A dengan vektor B.

Jadi, saya sekarang gambarkan bahwa asumsinya bahwa B itu tidak di dalam ruang yang direntang oleh ruang-kolom.

Ruang-kolom dari A itu saya namakan CA, ini ruang-kolom dari A.

Tidak di dalam ruang-kolom dari A, jadi ini adalah ruang-kolom dari A dan B katakanlah di sini, ini adalah B.

Sekarang, saya ingin mencari titik di dalam ruang-kolom.

Jadi, sebetulnya yang ingin saya cari adalah AX yang terdekat, jadi AX itu nanti akan berada di salah satu titik di sini, di dalam ruang-kolom.

AX itu kan sebetulnya perkalian antara XI dengan kolom-kolom dari A, cara lain untuk melihat A x X.

Jadi, A x X itu sebetulnya adalah titik-titik dalam ruang-kolom dari A.

Saya ingin mencari AX yang terdekat dengan B dalam ruang-kolom 6-2.

Perhatikan bahwa saya akan definisikan sekarang selisih ini adalah R, ini adalah residual katakanlah sama dengan AX dikurang B.

AX kurang B itu pasti dia akan ke sana, maka titik ini akan memberikan jarak minimum ke B apabila R ini tegak lurus atau ortogonal pada ruang-kolom A.

Kalau dia tidak tegak lurus, dia akan lebih panjang, lebih jauh, jadi jarak terdekat.

Dan misalnya saya ingin mencari di mana titik terdekat dari kapur ini ke lantai, maka saya harus tembak ortogonal atau tegak lurus ke lantai tersebut.

Dan jadi, minimizer yang saya cari tadi itu diberikan oleh X yang menyebabkan atau memberikan

Kita tahu bahwa dua faktor ortogonal kalau inner productnya sama dengan 0.

R transpose dikalikan dengan AX itu harus sama dengan 0, atau sebaliknya AX transpose dikalikan dengan R itu akan sama dengan 0.

Nah, tanpa melihat apakah kolom atau ruang-kolom dari A itu penuh atau tidak, yang penting ini adalah ruang-kolom,

artinya kolom A tadi independent linear atau tidak, dia pasti akan membentuk ruang-kolom.

Meskipun range ataupun banyaknya kolom-kolom yang independent linear itu kurang dari n, pasti tetap akan terbentuk ruang-kolom ini.

Coba sekarang kita cari R transpose itu sama dengan AX dikurang B transpose, kemudian dikalikan AX itu harus sama dengan 0.

Berarti saya akan punya sama saja dengan A atau X transpose A transpose dikurang B transpose.

Kelihatannya biar sama dengan tadi saya balik ininya, saya ambil AX transpose kali R sama dengan 0,

berarti ini saya balik X transpose kali A transpose dikalikan R, R adalah AX dikurang B ini harus sama dengan 0,

artinya saya tetap akan mendapatkan X transpose kali A transpose kali AX sama dengan A transpose dikalikan X transpose kali A transpose kali B.

X transpose dikalikan dengan A transpose kali B dan saya bisa menghilangkan X transpose yang di sini,

jadi X transpose-nya saya bisa corek, ini X transpose X transpose, berarti saya dapat A transpose AX sama dengan A transpose B.

Ini sama dengan tadi suatu sistem persamaan yang kita sebut dengan persamaan normal,

tapi bedanya sekarang adalah bahwa saya pasti dapat menemukan X meskipun ruang kolomnya ini tidak penuh

atau jumlah kolom-kolom yang independent linear itu tidak sama dengan N atau banyaknya kolom.

Dari persamaan normal ini kita sudah mendapatkan adanya solusi atau eksistensi dari solusi suatu least square problem.