Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas implementasi algoritma eliminasi Gauss pada MATLAB atau Octave untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma ini melibatkan pembentukan fungsi Gauss dengan input berupa matriks A dan B, diikuti dengan proses eliminasi baris dan kolom untuk menghasilkan matriks U dan Bt. Hasilnya dapat diverifikasi dengan menghitung solusi X melalui proses mundur dan memeriksa apakah A dikalikan X dikurangi B menghasilkan nilai mendekati 0. Kesalahan yang terjadi disebabkan oleh pembulatan bilangan komputer. Implementasi ini membuktikan keakuratan konversi matriks A dan B ke dalam matriks U dan Bt.

Oke, sekarang kita coba implementasikan algoritma eliminasi Gauss tadi dalam bahasa MATLAB atau Octave.

Pertama kita bentuk suatu fungsi atau function yang outputnya ada dua, ada U dan B tilde.

Cuman supaya tidak menggunakan notasi B tilde, saya tulis aja sebagai Bt misalnya.

Jadi Bt ini adalah maksudnya B tilde, fungsinya saya akan namakan Gauss, inputnya ada dua tadi yaitu A dan B sebagai ruas kanan.

Oke, nah sama dengan yang tadi sebelum, algoritma sebelumnya, saya akan hitung N sebagai, karena ini diperlukan dalam fungsi ini,

jadi panjang dari faktor B itu akan sama dengan dimensi dari persoalan, yaitu N.

Baik, selanjutnya saya harus bekerja langsung pada A berikut B.

Daripada saya lakukan dalam dua instruksi yang terpisah, ada baiknya saya augment atau saya tempatkan B sebagai kolom baru setelah kolom terakhir pada A.

Nah augmentation ini dalam oktav itu gampang sekali, Anda tinggal tulis A yang baru sama dengan A yang lama digabung dengan B di sebelahnya.

Jadi saya cuman tulis seperti ini, itu akan menghasilkan A yang sudah memuat B.

Jadi saya bekerja pada A, pada baris-baris A, itu artinya saya sudah mengupdate juga B.

Baik, selanjutnya saya mulai dengan kolom terluar tadi kita namakan K, indexnya, jadi K-nya akan berjalan dari 1 sampai N-1.

Ingat tadi, kolom-kolom yang harus saya eliminasi hanya N-1 kolom, karena pada kolom terakhir itu pojok kanan bawahnya tetap tidak dinolkan.

Oke, kemudian saya langsung bekerja untuk mengeliminasi baris-baris, index barisnya saya namakan I,

tapi baris yang harus saya eliminasi itu mulai dari K-1 dan berakhir pada baris terakhir yaitu N.

Pertama saya hitung dulu rasio, tadi ingat N itu akan sama dengan A, I, K dibagi dengan K-K, elemen diagonal saya.

Kemudian saya update sekarang baris yang ke I, yang baru, nah ini kalau di MATLAB atau Octave,

kalau saya tulis A, I, 2 itu artinya seluruh elemen pada baris itu akan saya kerjakan.

Sebetulnya tidak perlu seluruhnya, karena yang sudah nol tidak perlu lagi dikerjakan,

jadi kalau untuk menghemat saya cukup mulai dari K saja gitu ya.

Jadi kalau bekerja pada kolom kedua, ya dari kolom kedua ke kanan, kenapa kolom yang pertama sudah selesai kok sudah nol,

tidak perlu lagi di update gitu ya, jadi untuk menghemat saya tulis seperti ini, sama dengan baris ke I yang lama,

dan dari K sampai ke, oke sorry, kolomnya tadi saya sudah punya B di kolom terakhir,

berarti ini sampai ke N plus 1 gitu ya, ini sampai ke N plus 1, jadi sekarang A itu punya N plus 1 kolom,

karena B-nya sudah saya tumpangkan di sana, dikurangi M dikalikan dengan baris yang menjadi reference saya,

atau baris yang menunjukkan kolom mana sedang saya kerjakan, itu kolom ke K, berarti ini baris ke K,

dan sama tadi dari K sampai dengan N plus 1, jadi make sure bahwa B juga sudah ikut kita operasikan.

Selesai, jadi ini adalah instruksi untuk mengupdate baris-baris pada sub-matrix yang pada kolom ke K.

Nah, proses saya konversi dari A ke U selesai, sekarang tinggal saya definisikan U itu adalah A yang kolom N kolom pertama,

jadi barisnya semua saya ambil, tapi kolomnya, jadi saya ambil semua, itu artinya saya tuliskan seperti ini,

baris semua diambil, tapi kolomnya hanya dari 1 sampai N, itu yang akan menjadi U,

karena saya override ke A lagi, sedangkan Bt-nya adalah di kolom terakhir dari A, kolom terakhir itu adalah kolom ke N plus 1.

Oke, selesai, saya sekarang simpan ini, dan saya punya sekarang suatu fungsi namanya gauss,

sekarang kita coba panggil, sama dengan tadi, saya mulai dengan A, matrix random katakanlah,

sedangkan B-nya adalah lagi-lagi faktor random, yang ukurannya 6 kali 1.

Oke, jadi ini adalah A saya, dan ini adalah B saya, sekarang saya akan hitung,

atau kita gunakan fungsi gauss untuk mendapatkan U dan Bt,

yaitu sama dengan gauss, nama fungsi tadi, dengan input A dan B.

Oke, jadi perhatikan bahwa U-nya benar, matrix segitiga atas, dan B-nya sekarang sudah berubah,

Nah, bagaimana saya tahu bahwa ini sudah benar?

Saya membutuhkan tadi yang sudah saya bikin sebelumnya, yaitu yang mundur,

jadi yang namanya X itu kan sama dengan mundur tadi, dengan input U,

hasil saya barusan, dengan Bt, Bt adalah hasil ruas kanan,

ruas kanan baru yang membuatkan hasil dari proses eliminasi gauss,

Nah, untuk membuktikan bahwa X benar-benar solusi dari A X sama dengan B,

yang awal, sehingga kita bisa menjamin bahwa U-nya sudah benar, Bt-nya sudah benar,

saya cek, bagaimana dengan A dikalikan X, dikurangi dengan B, harusnya 0.

Dan kita proleh hasilnya sebagai berikut, benar, hasilnya semuanya sudah proporsional dengan 10 pangkat min 16,

yaitu mesin Epsilon, jadi benar hasilnya error yang terjadi akibat dari rounding error

karena keterbatasan komputer dalam melakukan operasi.

Dan ini sudah membuktikan bahwa konversi dari A menjadi U, B menjadi Bt itu sudah benar.