Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas implementasi algoritma faktorisasi LDL^T tanpa pivoting pada Octave/Matlab. Algoritma ini menghasilkan dua output, yaitu matriks L dan vektor D dari matriks simetrik A. Prosesnya melibatkan inisialisasi matriks identitas untuk L, kemudian dilakukan eliminasi kolom demi kolom pada L dan perhitungan pada baris-baris A. Hasilnya dapat digunakan untuk memastikan kesamaan antara perkalian L, D, dan L transpose dengan matriks A. Meskipun terdapat kesalahan pembulatan, namun hasilnya mendekati nol dengan tingkat kesalahan yang sangat kecil.

Sekarang kita akan mengimplementasikan algoritma faktorisasi simetrik

yang kita sebut sebagai L D L transpose tadi.

Tapi D nya akan saya simpan sebagai vektor jadi tidak perlu sebagai matrik ya.

Kemudian nama fungsinya L D L T misalnya seperti itu.

Inputnya adalah suatu matrik A dengan syarat matrik A nya harus simetrik gitu ya.

Seperti biasa kita membutuhkan n, size dari matriknya.

Kemudian kita akan menginisialisasi L dengan matrik identitas.

Dalam MATLAB cukup di atau Octave cukup dituliskan seperti ini.

Oke, sekarang kita akan melakukan proses perhitungan atau eliminasi

pada L, perhatikan bahwa saya tidak membutuhkan U dalam hal ini.

Prosesnya akan sama bahwa saya harus bekerja kolom demi kolom.

Namakan kolomnya J dari 1 sampai kolom ke n-1 ingat bahwa eliminasi kita tidak sampai n.

Selanjutnya apa yang harus saya lakukan sama seperti proses LU sebetulnya.

Saya akan memperoleh kolom pertama dari L gitu ya.

Jadi kolom pertama dari L itu saya tuliskan sebagai kolom ke J.

Tapi kolom ke J nya itu pun saya mulai dari J plus 1 sampai dengan n pada kolom ke J.

Itu akan sama dengan A tapi saya ambil yang ke kanan nanti saya transpose gitu ya.

Jadi baris pertama, baris ke J maksud saya dari elemen ke J plus 1 sampai n.

Ini saya bagi dengan A di diagonal yaitu AJJ.

Kenapa? Karena L itu ke bawah bukan ke samping.

Dalam MATLAB cukup kita tuliskan seperti ini.

Sekarang saya akan lakukan eliminasi pada baris-barisnya A.

Tapi prosesnya sama dengan kemarin bawa baris ke I.

Misalnya baris kedua dari kolom kedua ke kanan.

Jadi ini dari I sampai n untuk posisi kolomnya.

Dikurangkan dengan L sebagai M atau faktornya.

Jadi ini adalah proses eliminasi yang saya katakan tadi.

Jadi kita tidak perlu proses yang di bawah diagonal.

Mungkin sebaiknya saya hitung saja di sini.

Dan ini saya ganti saja dengan D kalau demikian.

Jadi posisi terakhir dari pojok kanan bawah.

Jadi pertama saya definisikan matrik saya.

Ini adalah matrik saya yang sudah simetrik.

Bagaimana saya tahu bahwa ini sudah benar?

Untuk mendapatkan D sebagai matrik diagonal.