Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas implementasi algoritma faktorisasi LU pada Octave/Matlab untuk sistem persamaan linear. Algoritma ini memfaktorisasi matrix koefisien A menjadi dua matrix segitiga: segitiga bawah L dan segitiga atas U. Proses faktorisasi ini melibatkan input A dan menghasilkan output L dan U. Setelah mendapatkan L dan U, kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan mudah. Dengan menggunakan faktorisasi LU, kompleksitas algoritma ini sama dengan kompleksitas eliminasi gauss, yaitu n pangkat 3 per 3. Selain itu, video juga menjelaskan bagaimana menggunakan L dan U untuk mencari solusi dari A sama dengan B dengan langkah-langkah yang jelas dan mudah dipahami.

Selanjutnya kita akan coba implementasikan algoritma atau teknik yang barusan kita jelaskan tadi yaitu kita akan faktorisasikan A, matrix coefficient kita menjadi dua matrix segitiga yaitu segitiga bawah L dan segitiga atas U.

Jadi kita namakan fungsinya faktorisasi LU, outputnya adalah L dan U, jadi ada dua output.

Kemudian nama fungsinya saya namakan faktorisasi LU, inputnya cuma satu yaitu A.

Jadi kita tidak sama sekali melibatkan B, biarkan B nanti belakangan.

Pada saat kita mau menyelesaikan persoalannya baru kita hadirkan B.

Jadi untuk proses faktorisasi sama sekali tidak ada kebutuhan untuk menghadirkan luas kanan.

Untuk itu saya perlu dimensi matrix menggunakan cara yang berbeda sekarang yaitu N.

Saya peroleh dengan menggunakan fungsi yang namanya size.

Size itu adalah ukuran, jadi size dari suatu matrix itu akan ada dua outputnya yaitu baris dan kolom.

Jadi saya tangkap semuanya karena sama semuanya saya taruh di N.

Kemudian yang kedua, saya harus menginisialisasikan matrix segitiga bawah L.

Ingat tadi segitiga bawah itu adalah matrix yang berupa matrix segitiga bawah dan elemen diagonalnya adalah satu semua.

Jadi dia unit lower triangular matrix atau matrix segitiga bawah satuan.

Jadi yang paling baik untuk menginisialisasi L adalah matrix identitas.

Matrix identitas dalam oktab atau matlab cukup ditandai dengan fungsi I.

Jadi I itu adalah matrix identitas, ukurannya adalah N.

Jadi sudah dapat Lnya mula-mula matrix identitas.

Selanjutnya persis sama dengan proses gauss tadi.

Jadi saya akan copy saja yang dari gauss tadi.

Jadi perhatikan ini, sekarang saya tidak melibatkan B.

Jadi ukuran matrix saya adalah N kali N tetap.

Jadi yang kolom ke N plus satunya saya buang.

Kemudian M yang tadinya kita buang sekarang kita simpan dalam L.

Jadi I, K, L, I, K sama dengan A, I, K dibagi A, K, K.

Ini saja perbedaannya dan ini kita akan simpan dalam matrix L.

Ya, U nya sama dengan A atau A itu akan menjadi U.

Sehingga kita punya sekarang dua-duanya, Lnya sudah dapat, Unya sudah dapat.

Dan inilah yang kita sebut dengan fungsi faktorisasi L, U.

Prosesnya persis sama dengan eliminasi gauss.

Hanya saja M tadinya kita buang, sekarang kita simpan dalam L.

Oke, tadi saya masih punya matrix A, matrix random gitu ya.

Sekarang saya mau faktorisasi menjadi L dan U.

Tinggal saya tulis sekarang L, U sama dengan faktorisasi L, U dari A.

Ini L, matrix segitiga bawah dan isi dari elemen di bawah diagonal itu adalah rasio-rasio M tadi.

Nah, sekarang kita bisa mengecek apakah benar hasil faktorisasi saya ini.

Untuk menguji kebenarannya, kan L kali U kan mestinya kembali ke A kan?

Jadi, kalau saya ambil kalikan L kali U dikurangi dengan A, mestinya matrix 0 kan?

Benar, dia ke 0 kecuali di beberapa titik itu karena rounding error dia mendekati mesin epsilon.

Ini membuktikan bahwa program atau code faktorisasi L, U yang tadi kita bikin itu sudah benar.

Saya ulangi lagi penjelasan dari faktorisasi L, U tadi.

Ini perbedaannya adalah elemen dari L itu adalah rasio-rasio M tadi.

Yang tadinya pada saat eliminasi gauss kita buang, itu sekarang kita simpan.

Sedangkan proses eliminasinya sama persis dengan proses eliminasi gauss tadi.

Sehingga dapat kita katakan bahwa kompleksitas dari algoritma ini sama dengan kompleksitas eliminasi gauss yaitu n pangkat 3 per 3 juga.

Mungkin yang masih menjadi pertanyaan, kalau saya ingin mencari solusi dari A sama dengan B, gimana?

No problem, saya sudah punya L, saya sudah punya U.

Sekarang misalkan saya punya B yang sama dengan yang sebelumnya, maka saya cari dulu Y yaitu maju L dengan B.

Tahap sementara saya simpan dulu U x sama dengan Y berarti L y sama dengan B berarti saya dapatkan Y dengan menyelesaikan maju L B.

Oke, setelah itu saya simpan di X, yang baru saya namakan X1 supaya tidak menghilangkan yang lama.

W itu sama dengan mundur U, inputnya adalah U dan ruas kanannya adalah Y yang barusan saya hitung.

Ini adalah dapat W, berarti seolah-olah saya menyelesaikan A W sama dengan B.

Tadi, waktu kita menggunakan eliminasi gauss tanpa L U, saya simpan sudah simpan namanya X.

Perhatikan hasilnya persis sama, W dengan X.

Memang benar, W ini adalah solusi dari sistem yang sama.

A dikalikan dengan W, apakah sama dengan B atau tidak.

So, ini tahapan atau metode yang sampai detik ini.

Kita sudah bisa menyelesaikan untuk persoalan yang umum, bukan hanya yang segitiga.

Tapi, melalui solusi untuk yang segitiga.

Kalau eliminasi gauss biasa tadi langsung ke U, berarti kita membutuhkan hanya yang mundur.

Sedangkan dengan faktorisasi L U, kita butuh dua-duanya, baik yang maju maupun yang mundur.