Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas implementasi algoritma Lagrange Multiplier pada Octave/Matlab untuk optimasi nonlinier. Langkah-langkahnya meliputi pembuatan fungsi objektif, perhitungan gradient, hessian, dan iterasi menggunakan teknik Newton. Dengan contoh persoalan kaleng, penyelesaian Lagrang function dapat mendekati solusi optimal dengan metode Newton, sementara steepest descent masih menghadapi kesulitan. Teknik Newton menunjukkan hasil yang lebih dekat dengan solusi yang diinginkan, menunjukkan keunggulan dalam menyelesaikan permasalahan optimisasi nonlinier.

Baik, sekarang kita coba implementasikan dalam oktab apa yang tadi sudah kita kerjakan di papan tulis yaitu menyelesaikan constraint problem untuk persoalan kaleng yang tadi kita sudah bicarakan.

Pertama, kita harus membuat fungsi objektifnya dulu, fungsi objektif yang kita sebut sebagai kaleng, dia akan menghitung lagrang.

Jadi ini fungsi lagrangnya langsung, yaitu L tadi sama dengan fx dikurang lambda kali g,

di mana g nya constraint, jadi setelah kita substitusikan f dan g nya kita dapatkan bahwa fungsi lagrangnya adalah 2P kali R kuadrat,

jadi ini adalah luas tutup dan permukaan, base atau dasar, lingkaran bentuknya, kemudian selimut dari silindernya adalah 2P R kali khan h,

kemudian dikurangi dengan lambda di kali khan volume kurang 250, volumenya adalah P R kuadrat h dikurang 250,

ini adalah fungsi kita, kita bisa cek tadi misalnya bagaimana dengan grad, jadi katakan lagi itu akan sama dengan,

kita cari dulu x0, jadi tebakan awalnya misalnya sama dengan 1, kemudian 0,5 misalnya ini, artinya apa saya memberi tebakan awal untuk radius nya 1,

kemudian tinggi silindernya 1, dan lambdanya adalah 0,5, jadi kayak gitu tebakan awalnya, kemudian kita cari gradient nya berarti g sama dengan gradient dari fungsi objektif kita yaitu kaleng di titik x0,

dapat ini, kemudian kita cari hessian, jadi h sama dengan hessian, saya sudah definisikan, jadi fungsi hessian saya itu dihitung cara numerik dan memanggil fungsi grad,

jadi grad dari turunan pertama berarti hessian turunan kedua saya turunkan lagi turunan pertama dari grad, kira-kira gitu, dan ini fungsinya adalah kaleng dan di titik x0,

ini yang kita dapatkan, ini fungsi gradient nya, kemudian bagaimana dengan x1?

Menurut teknik Newton, pertama kita hitung d dulu, yaitu penyelesaian dari h dengan minus g sebagai ruas kanan,

kemudian yang namanya x1 itu akan sama dengan x0 ditambah dengan, karena saya sudah kasih minus disitu, jadi sekarang ditambah dengan d, jadi ini dapat titik yang kedua,

jadi memang kelihatan bahwa tebakan awal saya kurang bagus, ini menjadi cukup besar, jadi kalau tadi satu-satu, ini jadi 81,

jadi kita bayangkan sebetulnya untuk mendapatkan volume 250, itu mestinya sih kalau jari-jarinya adalah 10 cm, maka kira-kira tingginya berapa tuh,

jadi kita bisa mengira-ira jadi satu-satu, 0,5 tadi memang terlalu kecil sebagai tebakan awal, jadi sekarang kita coba besarkan lagi, x0 nya kita ubah sekarang,

yaitu jari-jarinya katakanlah 5 cm, kemudian tingginya katakanlah 10 cm, kemudian lambdanya sementara kita ambil satu saja,

oke, nah dari sini kita bisa mencari lagi-lagi g, yaitu sama dengan grad dari fungsi kaleng di titik x0,

oke, kemudian kita cari hessian nya, jadi A sama dengan hessian 2 dari fungsi kaleng di titik x0,

ini dapat, jadi kalau misalnya saya ingin mengupdate, jadi ini adalah d nya minus g, dan saya dapatkan berapa kira-kira apa untuk selanjutnya,

yaitu misalnya yang namanya x1 atau x0 yang baru, itu akan sama dengan x0 yang lama ditambah dengan d, jadi dia udah kelihatan tidak terlalu gede dari tadinya 5,10,1 sekarang 3,7,0,7

ini kita bisa teruskan sekali lagi, misalnya apa yang terjadi kalau saya lanjut, kemudian saya ambil juga h nya, kemudian saya cari sekali lagi d yang baru dan kelihatan d nya udah makin kecil,

sehingga x yang baru seperti ini, jadi udah makin dekat, jadi ini kelihatan Newton makin promising dia, sedangkan kalau stippest descent, kalau dia jauh dari titik awal yang diinginkan, dia akan bermasalah,

jadi misalnya sekarang ini kita masukkan ke stippest descent, jadi xn, jadi saya udah cukup dekat kelihatannya, stipp, fungsi saya adalah kaleng,

kemudian x0 nya adalah hasil Newton barusan, udah kita lakukan, kemudian tol nya adalah 10 pangkat minus 5 misalnya, dan iteration maksimum nya 100 katanya lah,

jadi kelihatan stippest descent masih akan cukup kesulitan untuk mencari titik solusinya, sedangkan Newton udah cukup dekat, kalau kita lihat Newton udah 3,4, 6,9, 0,6,

Oke demikian, ini kita udah tunjukkan bahwa penyelesaian dari lagrang function itu dapat menemukan solusi dari persoalan optimisasi yang berkendala.