Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas mengenai implementasi algoritma substitusi maju pada Octave/MATLAB. Dalam video, dijelaskan langkah-langkah untuk membuat program atau code dalam bahasa Octave yang mengimplementasikan algoritma tersebut. Algoritma tersebut dijalankan melalui fungsi .m yang dapat dipanggil dan dieksekusi dalam MATLAB atau Octave. Proses implementasi algoritma melibatkan penulisan fungsi, penggunaan matriks segitiga bawah, faktor ruas kanan, dan perhitungan solusi sistem persamaan linear. Hasil implementasi algoritma dapat diuji dengan pendekatan error mundur untuk memastikan kebenaran solusi yang ditemukan dalam konteks akurasi komputer. Kesimpulannya, algoritma ini dapat menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks coefficient segitiga bawah.

Kita akan membuat sekarang program atau code dalam bahasa Octave

yang mengimplementasikan algoritma substitusi maju yang tadi sudah kita bahas.

Nah sekaligus juga saya memperkenalkan bahwa dalam Octave ataupun MATLAB

ada dikenal dengan .m function atau fungsi .m yang merupakan executable

fungsi yang bisa kita panggil dan kita jalankan dalam MATLAB atau Octave.

Secara umum kita akan memiliki struktur sebagai berikut, pertama kita tuliskan

function ini menandakan bahwa file ini nanti akan dapat dipanggil,

Kemudian outputnya apa, jadi dalam hal ini saya hanya punya satu output tadi

seperti saya katakan yaitu x, ingat tadi algoritma kita gitu ya.

Kemudian nama fungsi itu harus sama dengan nama file

dan itulah nanti yang akan kita jadikan sebagai cara untuk mengeksekusi algoritma ini.

Karena tadi adalah kita sebut sebagai algoritma substitusi maju gitu ya.

Mungkin saya akan panggil fungsi saya ini sebagai maju, m a j u gitu ya.

Inputnya apa, ada dua tadi yaitu L sebagai matrik segitiga bawah

dan B sebagai ruas kanan atau faktor ruas kanan dari sistem persamaan linier saya.

Hal pertama yang harus saya temukan adalah dimensi dari persoalan saya,

ingat bahwa matrik saya berukuran n kali n dan B saya panjangnya n.

Tapi n nya saya tidak tahu dalam hal ini karena tidak saya pas,

tidak saya jadikan sebagai parameter yang masuk dalam input.

Tapi gak apa-apa matrik bisa menemukan n itu antara lain misalnya pasti panjang faktor B itu adalah n.

Karena matrik saya n kali n di kiri sehingga panjang ruas kanannya akan n.

Sehingga dalam matrik oktaf ini disebut dengan fungsinya namanya length.

Jadi n itu sama saja dengan panjang faktor B yang dalam matlab atau oktaf disebut length B.

Titik koma dalam hal ini saya perlukan agar tidak di display ke screen hasil-hasil perhitungan ini.

Nah selanjutnya kalau tadi dalam algoritma saya mengeluarkan X1 terlebih dahulu saya hitung di luar dari loops gitu ya.

Karena pada saat ngitung X1 belum ada input apa-apa sebelumnya dia pertama kali.

Pada saat X2 itu sudah bisa di dalam loop karena sudah punya X1.

Nah tapi dengan adanya platform oktaf tidak diperlukan jadi saya bisa langsung menghitung for

katakanlah i sebagai indeks dari elemen-elemen dari X nya.

Jadi seluruh elemen dari X akan saya hitung.

Oke, pertama sama dengan tadi saya akan hitung terlebih dahulu S gitu ya.

S itu perkalian antara baris ke i dari L gitu ya.

Nah dalam matlab atau oktaf ini cukup saya tuliskan sebagai li, artinya ini saya mengakses baris-baris ke i.

Nah sedangkan posisi kolomnya saya hanya mengambil i-1 kolom pertama.

Saya tulis aja dari 1 kolomnya sampai ke i-1 gitu ya.

Ditulis seperti ini dan ingat ini adalah baris L nya yang harus saya kalikan dengan X gitu ya.

Yang isinya hanya dari 1 atau hanya menggunakan i-1 elemen pertama dari X.

Yang bisa saya tuliskan dari X1 sampai i-1.

Ingat X ini harus berupa matrik atau vektor kolom.

Nah default dalam matlab itu sebetulnya kalau tidak kita declare dia akan untuk vektor itu ke kanan, vektor baris.

Jadi saya harus lakukan deklarasi di atas ini bahwa X itu adalah vektor kolom yang panjangnya n.

Jadi saya bisa isi dulu dengan 0 tapi banyaknya barisnya n kolomnya cuma 1.

Ini menandakan bahwa X itu adalah vektor kolom gitu ya.

Supaya perkalian antara baris dengan kolom ini sebagai inner product itu bisa dilakukan.

Jadi matlab atau oktab tidak akan komplain.

Jadi conformable secara aritematika operasi vektor dan matrik.

Nah setelah S saya temukan saya bisa langsung menghitung X i.

Yang sama dengan tadi rumusnya adalah B yang ke i.

Dikurangi dengan S dan dibagi dengan L elemen diagonal yaitu L i i.

Oke mungkin ada yang bertanya bagaimana pada saat i sama dengan 1 disini kita punya dari 1 sampai i minus 1.

Nah pada saat i sama dengan 1 S ini akan void artinya tidak ada apa-apa di eksekusi berarti S nya sama dengan 0.

Jadi S nya sama dengan 0 ya benar bahwa X1 sama dengan B1 dibagi L11.

Jadi algoritma kita tetap benar pada saat i sama dengan 1.

Jadi saya sekarang sudah menemukan N nya sudah selesai, N4 nya sudah ada.

Oke dan ini adalah code ataupun program yang akan kita simpan.

Dan dalam out of ini kita akan namakan file ini sama dengan nama fungsinya yaitu maju.m

Jadi .m ini artinya menandakan dia merupakan executable file dalam versi MATLAB atau Octave.

Jadi sederhana sekali implementasinya cuma berapa baris itu hanya esensi utamanya sebutnya cuma 2 baris.

Kalau mau disederhanakan sebetulnya S itu bisa dihitung di dalam instruksi baris ke 6.

Jadi kita bisa pindahkan ini di copy ke sini.

Sehingga benar-benar hanya 1 baris saja gitu kalau mau.

Cuman menjadi agak lebih panjang instruksinya untuk memudahkan membacanya kita bisa tuliskan seperti ini.

Sedangkan yang di luar loop itu hanya aksesori saja.

Pertama kita menemukan N, yang kedua kita menginisialisasikan X.

Oke, saya sudah selesai membuat algoritmanya.

Bagaimana cara mengeksekusi program ataupun fungsi yang tadi saya sudah selesaikan.

Untuk itu saya membutuhkan L sebagai input.

Dalam MATLAB supaya saya tidak perlu mengetik satu demi satu L, saya bisa menggunakan random matrix.

Saya cukup tulis sebagai random 5 seperti ini.

Saya akan dapat suatu matrix random yang entrinya adalah elemen random di antara 0 dengan 1.

Untuk itu saya akan ambil hanya bagian di bawahnya saja.

Dan ini yang tersebut dalam fungsi MATLAB disebut trill.

Trill itu artinya lower triangular part dari suatu matrix.

Jadi kalau kita lihat, sekarang bentuknya berupa segitiga bawah.

Semua elemen yang di atas main diagonal sudah 0.

Sedangkan ruas kanan B, saya lagi-lagi ambil random vektor.

Katakanlah yaitu x 5 tadi sama harus sama.

Tapi sekarang saya hanya punya satu kolom.

Berarti saya declare sebagai B adalah random 5 1.

Baik, sekarang saya sudah punya L, punya B.

Sehingga siap untuk memanggil solusi yang memenuhi L x sama dengan B.

Dengan menggunakan fungsi tadi, yaitu A sama dengan maju tadi nama fungsinya.

Apabila tidak ada syntax error, mestinya sini sudah memberikan solusi untuk sistem.

Jadi ini adalah solusinya yang diproleh dari sistem persamaan linear kita tadi.

Sampai di sini, kita bisa mulai menguji apakah solusi x yang saya temukan ini benar atau tidak.

Karena x itu merupakan solusi dari L x sama dengan B,

maka salah satu cara untuk menguji x-nya benar atau tidak,

kita akan menggunakan pendekatan yang disebut dengan backward error approach