Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas implementasi algoritma substitusi mundur pada Octave/Matlab untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks segitiga atas. Langkah-langkahnya meliputi inisialisasi, perhitungan nilai X dari belakang ke depan, penyimpanan hasil ke file "mundur", dan pengecekan kebenaran solusi dengan mengalikan U dan solusi yang didapat. Algoritma ini cocok digunakan untuk matriks non-singular berbentuk segitiga atas. Selain itu, video juga membahas kemungkinan menyelesaikan sistem persamaan linear umum dengan matriks bujur sangkar menggunakan pemahaman tentang matriks segitiga.

Oke, sekarang kita akan implementasikan algoritma yang kedua yaitu substitusi mundur.

Sama dengan tadi, kita akan menamakan fungsi ini mundur, jadi outputnya adalah X.

Inputnya adalah U, matriks sugi 3 atas dan vektor ruas kanan B.

Sangat-sangat mirip atau sama dengan yang tadi kita lakukan.

Jadi pertama kita temukan dulu n sebagai dimensi dari persoalan yang sama dengan length atau panjang dari vektor B.

Kemudian saya akan initialize atau mulai X dengan matriks vektor 0 yang panjangnya adalah n.

Dan saya harus meyakinkan bahwa merupakan vektor kolom gitu ya.

Selanjutnya saya akan cari X satu demi satu tapi mulai dari yang n.

Jadi index dari loop saya mulai dari n sampai dengan 1.

Nah, dalam MATLAB agar index counternya ini turun, kita akan sisipkan di sini min 1 di tengah gitu ya.

Jadi for i dari n stepnya adalah min 1 sampai dengan 1.

Jadi ini merupakan cara atau notasi instruksi atau sintaks agar loop kita itu berjalan, indexnya berjalan mundur dari n sampai dengan 1.

Oke, sama dengan tadi saya akan mengitung S yaitu perkalian antara baris ke i.

Tapi kolomnya itu mulai dari i plus 1 sampai dengan n gitu ya.

Oke, saya kalikan dengan X yang juga mulai dari yang i plus 1 index ke i plus 1 sampai dengan n.

Jadi persis sama dengan tadi cuman sekarang bagian ujung.

Kalau tadi bagian depannya dari X dan U tapi sekarang bagian bawahnya kita mulai dari bawah.

Setelah itu kita akan mengitung X yang ke i.

Dikurangi S dibagi dengan U yang di elemen diagonal yaitu Uii.

Oke, dan ini menyelesaikan n untuk for tadi.

Oke, jadi kita sudah selesai dengan main body dari code atau program kita.

Sekarang kita simpan dan akan tersimpan pada file yang namanya mundur.

Sama dengan tadi saya harus definisikan dulu matrik U.

Saya mulai dengan random sekarang misalnya ukurannya saya ambil 6 kali 6 gitu supaya lebih gede.

Oke, ini matriknya 6 kali 6 sehingga B nya harus merupakan vektor yang panjangnya juga 6.

Ini, oh sebentar sebelum itu saya harus membuat U itu matrik segitiga atas.

Sama dengan tadi saya menggunakan built in functionnya dari MATLAB.

Jadi kalau TRIL tadi mengambil lower triangular part dari suatu matrik.

Maka TRIU itu akan mengambil upper triangular part dari matrik tersebut.

Jadi kalau saya hanya ambil bagian segitiga atasnya saya gunakan fungsi TRIU.

Perhatikan sekarang sudah berupa matrik segitiga atas.

Nah sekarang saya definisikan B menggunakan vektor random ukurannya 6 kali 1.

Nah sekarang saya misalkan namakan Y itu adalah solusi dari UY sama dengan B gitu ya.

Maka Y itu akan sama dengan mundur nama file saya dan saya masukkan sekarang U sebagai input dan B.

Ini adalah hasilnya dan sama dengan tadi bagaimana saya tahu bahwa hasilnya ini sudah benar.

Saya kalikan saja U kali Y dikurangi dengan B.

Kalau hasilnya sudah 0 ataupun tidak 0 sudah mendekati mesin Epsilon atau tingkat presisi.

Jadi error ataupun kesalahan itu terjadi akibat dari keterbatasan mesin dalam menyajikan dan mengoperasikan bilangan.

Oke, perhatikan hasilnya sudah 0 atau sesuatu bilangan yang sudah dekat dengan 10 pangkat minus 16.

Dan ini buat kita sekarang punya pemahaman bahwa sistem persamaan linear sepanjang matrik coeffisienya itu non singular

dan berbentuk segitiga apakah itu segitiga atas ataupun segitiga bawah.

Pasti bisa kita selesaikan dengan menggunakan algoritma subtitusi maju atau subtitusi mundur tergantung bentuk segitiganya.

Nah, kajian selanjutnya adalah apakah mungkin kita menyelesaikan sistem persamaan linear yang umum.

Dimana bentuk matriknya bujur sangkar umum bukan merupakan segitiga.

Kita akan memanfaatkan pemahaman kita tentang matrik segitiga ini untuk membawa kita pada teknik

untuk menyelesaikan persoalan sistem persamaan linear dengan matrik yang umum.