Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas integral numerik menggunakan Metode Newton-Cotes dengan polinomial orde 0, yaitu konstanta. Konsep dasar antara definite dan indefinite integral dijelaskan, serta penggunaan polinomial untuk mendekati fungsi fx. Metode ini menggunakan interpolasi dengan polinomial konstan untuk mencari integral, dikenal sebagai rumus segi 4 atau rektangular rules. Titik tengah antara A dan B dianggap sebagai titik terbaik dalam pendekatan ini, dikenal sebagai midpoint rule. Contoh perhitungan integral akar x dari 0 sampai 1 menunjukkan keakuratan pendekatan dengan menggunakan titik tengah, mendekati nilai sebenarnya 2 per 3.

Sekarang kita akan membahas metode dan rumus-rumus untuk mencari integral tertentu.

Jadi kita hanya bisa menghitung secara numerik untuk persoalan definite integral bukan indefinite integral.

Ingat bahwa perbedaan mendasar antara definite dan indefinite integral adalah

kalau definite integral nilai numerik hasilnya itu berupa angka, sedangkan indefinite integral itu berupa fungsi.

Dalam kalkulus Anda juga mungkin pernah mendengar bahwa asalnya keduanya itu dikembangkan secara berbeda untuk kebutuhan berbeda.

Hanya setelah fundamental theorem of kalkulus saja keduanya bisa terhubung antara definite dan indefinite integral.

Jadi persoalan kita adalah ingin mencari integral ab fx dx secara numerik.

Yang akan kita lakukan adalah kita dekati fx itu dengan polinomial.

Kemudian kita cari atau kita interpolasi fx dengan polinomial kemudian kita cari integral dari polinomial tersebut.

Namun sebentar lagi akan kita tunjukkan kita bisa membuat tanpa mencari polinomialnya

langsung kita cari berapa hasil integralnya, rumus hasil integralnya.

Setelah mengintegralkan polinomial tersebut, kita dapat menuliskan atau menyajikan rumus untuk masing-masing pendekatan.

Kita akan mulai dengan apa yang dikenal dengan kelas metode yang disebut Newton's codes.

Jadi ini atau kadang-kadang disebut sebagai rumus-rumus klasik untuk pencarian integral.

Yaitu kita akan mulai dengan, kita interpolasi, lakukan interpolasi f dengan polinomial.

Jadi A, kita lakukan interpolasi order 1, jadi dengan polinomial konstan, order 0 atau konstan.

Jadi Px, saya namakan P0x, itu adalah f x0, saya enggak tahu x0nya berapa,

di mana x0 itu suatu titik dalam selang AB, bisa di titik A, bisa di titik B, bisa di titik di antara A dan B, di titik x0nya itu.

Karena dia Pnya harus berupa konstanta, maka pasti harus nilai Pnya itu konstanta yang sama dengan ketinggian fungsi tersebut.

Jadi kalau ini adalah fxnya, kemudian ini adalah katakanlah x0 saya di sini, ini A, ini B.

Berarti basically saya akan dekati f itu dengan garis konstanta atau garis mendatar ini.

Namun dengan cara ini kita tahu bahwa polinomialnya konstan, berarti integral AB fx dx akan kita dekati dengan integral AB f x0 dx.

Tapi f x0 itu adalah konstanta, berarti akan sama dengan f x0 kali integral dari dx yaitu B kurang A.

Jadi kita dapatkan rumus yang ini dikenal dengan rumus segi 4 atau rektangular rules, rumus rektangular atau rumus segi 4.

Kenapa? Karena bentuknya ini adalah sebuah segi 4, seperti ini saya dekati.

Nah, tentu saja pertanyaan yang mendasar sekarang, x0 mau kita taruh di mana?

Saya katakan tadi dalam konteks ini ya bebas, dimana cuman sebentar lagi akan kita tunjukkan

dan nanti pada saat bicara error analisis kita juga demonstrasikan ulang, x0 yang terbaik adalah titik tengah antara A dan B.

Jadi x0 yang terbaik adalah, jadi x0 yang terbaik dalam artian paling akurat, memberikan akurasi yang paling baik adalah titik tengah antara A dan B.

Jadi A tambah B per 2, sehingga rumus ini secara khusus kita dapatkan integral f x dx didekati dengan f A tambah B per 2 dikalikan B minus A.

Rumus ini kita kenal dengan midpoint rule atau rumus titik tengah.

Misalkan saya ingin mencari integral akar x dari 0 sampai 1, integral dari 0 sampai 1 dari akar x, dx misalnya.

Oke, kalau saya ambil sekarang rumus yang tadi kita gunakan yang ini, maka menurut rumus ini akan sama dengan akar x0 dikalikan 1 dikurang 0,

itu akan sama dengan akar x0, ini kalau menurut rumus ini.

Sekarang kalau kita ambil x0 sama dengan 0, maka integral 0, 1 dari akar x, dx itu akan sama dengan 0.

Tentu saja salah, artinya tidak akurat sama sekali.

Kalau saya ambil di ujung kanan, x0 sama dengan 1 akan menyebabkan integral 0, 1 akar x, dx sama dengan 1, yaitu akar 1.

Nah sekarang, bagaimana kalau titik tengah?

Jadi kalau di tengah-tengah, x0 sama dengan setengah, di antara 0 dan 1 titik tengahnya adalah setengah,

maka integral 0, 1 akar x, dx itu akan sama dengan akar setengah atau seper akar 2 atau setengah akar 2.

Nah sekarang kalau kita cari secara analitik, yang sebenarnya kita tahu bahwa

mestinya integral akar x, dx dari 0 sampai 1, ini akan sama dengan 2 per 3, x pangkat 3 per 2, 0, 1 berarti mestinya sama dengan 2 per 3.

Jadi kalau kita lihat, ini memang paling dekat dengan 2 per 3, 1 dibagi akar 2, itu cukup dekat dengan 2 per 3.

So, ini salah satu contoh, tentu saja pendekatan yang pertama kita pakai untuk menggunakan polonomial order yang paling rendah,