Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas interpolasi Hermite dalam Analisis Numerik, di mana informasi turunan fungsi digunakan untuk meningkatkan degree polinomial. Interpolasi Hermite memungkinkan penggunaan titik yang sama dalam interpolasi dengan memanfaatkan turunan fungsi sebagai pengisi data. Dengan memanfaatkan turunan pertama, data dapat direplikasi sehingga polinomial yang dihasilkan memiliki degree yang lebih tinggi. Proses ini memungkinkan penggunaan sedikit titik data untuk mencapai polinomial derajat yang lebih tinggi, meningkatkan akurasi hasil interpolasi.

Dari tabel Divided Difference tadi, ada ide untuk meningkatkan degree dari polinomialnya

dengan memanfaatkan informasi tentang turunan fungsinya.

Jadi tadi kan kolom-kolom dari Divided Difference Table itu akan mendekati turunan.

Jadi yang delta ada turunan pertama, delta kuadrat turunan kedua, dan seterusnya.

Nah, dalam hal tertentu kalau kita tahu fungsinya,

kayak tadi saya tahu akar X disebutnya yang mau kita dekati,

maka kita bisa memanfaatkan informasi tentang turunan tersebut.

Dan ini disebut dengan interpolasi Hermite atau Hermite Interpolation.

Nah, jadi kita memanfaatkan turunan fungsi pada tabel yang tadi saya ceritakan Divided Difference.

Kasus ini terjadi apabila kita ingin menginterpolasi bukan hanya data sembarang,

tapi data itu merupakan sampel dari fungsi yang kita ketahui.

Jadi kalau saya tahu bahwa interpolasi ini ditujukan untuk mendekati suatu fungsi tertentu yang saya ketahui,

Contoh, ingin mendekati, mencari polinomial yang mendekati atau menginterpolasi Fx sama dengan akar X misalnya.

Oke, nah saya tahu bahwa yang akan kita memanfaatkan adalah informasi tentang turunannya dari Fx.

Dengan rule sebagai berikut, kalau turunan pertama itu kita pakai, maka data itu bisa kita repeat satu kali.

Jadi X yang ke I, kalau kita gunakan turunan di X ke I, berarti X ke I tersebut bisa kita pakai dua kali.

Kalau kita pakai turunan kedua juga, maka kita bisa pakai tiga kali.

Hal ini kalau kita menggunakan prinsip dari basis Newton, ini akan menambah degree dari polinomialnya,

karena data X, I-nya kita pakai untuk bukan hanya satu kali, tapi untuk beberapa kali.

Tadinya kita sebelum ada Hermit memang mengawajibkan bahwa X, I itu harus distinct, harus berbeda.

Tapi dengan adanya pendekatan Hermit, itu ternyata bisa kita gunakan titik yang sama,

tapi dengan catatan kita harus menggunakan turunan fungsi tersebut sebagai pengisi dari data untuk kolom difference-nya.

Kita akan lihat kenapa demikian, karena setelah melihat contoh sebagai berbeda.

Misalnya kita tadi punya f X sama dengan akar X, maka saya tahu bahwa f aksen X itu akan sama dengan 1 per 2 akar X.

Ini adalah turunan pertama saja, misalnya saya akan menggunakan turunan pertama.

Akibatnya apa? Data-data yang tadi saya miliki itu saya bisa replikasi dua kali,

jadi tadi kan saya punya datanya itu X, I-nya itu kan satu, jadi satunya dua kali saya pakai.

Satu, satu, kemudian 4, 4, kemudian 9, 9.

Akibatnya apa? Seolah-olah saya punya 6 data, padahal cuma 3 titik yang saya pakai.

Akibat dari memanfaatkan ini, saya seolah-olah punya 6 data dan ini akan membawa saya pada polinomial order 5,

Jadi disini saya kasih dulu I-nya adalah 1, 1, 2, 2, 3, 3.

Nah sekarang kita coba gunakan informasi ini untuk menghitung delta.

Jelas saja kalau saya menggunakan rumus difference biasa, ini akan terjadi 0 per 0,

kan 1 kurang 1 0 dibagi dengan 1 kurang 1 0.

Tapi saya tidak pakai itu, saya dekati ini dengan turunan pertama.

Saya tahu bahwa di titik 1 turunan pertamanya adalah setengah.

Jadi saya langsung masukkan disini setengah, karena X sama dengan 1, disini 1 dibagi 2 akar 1, setengah.

Disini antara 1 dengan 2 sudah bisa saya pakai rumus yang tadi,

2 kurang 1, 1, 4 kurang 1, 3, oh ini adalah 1 per 3 disini.

Disini pada saat 2 dengan 2, 0, 4 kurang 4, 0, tidak bisa, saya pakai turunan lagi.

Pada saat X sama dengan 4, berarti ini 1 per akar 4, 2, 1 per 4.

Disini saya bisa pakai rumus tadi, 3 kurang 2, 1, 9 kurang 4, 5, oh disini ada 1 per 5.

Terakhir, 3 kurang 3, 0, 9 kurang 9, 0, tidak bisa, saya pakai turunan.

Nah tabel pada kolom delta itu sudah lengkap, berarti saya bisa move forward.

Jadi kalau pada saat yang kedua, saya berhenti disini, masih ada.

Jadi saya akan dapatkan nanti semua elemen diagonal inilah yang akan menjadi koefisien,

sehingga polinomial pendekatan untuk akar X dengan menggunakan 3 data bisa sampai pada polinomial derajat 5.

Sekarang bagaimana bentuk atau wujud dari polinomial Newtonnya?

Jadi polinomial Hermite sama Newton itu sama saja sih basically.

Sepertikan bahwa dia modelnya, model Newton sebetulnya basisnya.

Jadi ini 1, karena disini sudah ketahuan ini 1, dikalkan basisnya 1.

Kemudian disini ada setengah, dikalkan dengan X-1, jadi X-1 saya pakai.

Tapi disini, ini kan 1 per 3 dikurang setengah, yaitu minus 1 per 6.

Dibagi dengan 3, 4 kurang 1 itu 3, berarti minus 1 per 6, minus 1 per 18.

Jadi disini adalah minus 1 per 18, apa dia?

Apa dia? Yaitu X-1 ini saya pakai 2 kali, kuadrat dia.

Di kanannya nanti adalah X-1 kuadrat kali X-4.

Disini nanti pada saat ngitung yang disana, yang ke pangkat 4, order ke 4-nya adalah

ini kuadrat, X-1 kuadrat sama X-4 kuadrat, kan pangkat 4.

Yang terakhir pangkat 5-nya adalah X-1 kuadrat kali X-4 kuadrat kali X-9.

Jadi ini namanya Hermit, tidak ada hal yang spesial dari pendekatan ini,

kecuali bahwa dia memanfaatkan turunan pada divided difference table

yang menyebabkan kita bisa mereplikasi titik-titik interpolannya tergantung turunan yang kita pakai.

Kalau turunan pertama 2 kali, turunan kedua bisa 3 kali,

kalau sampai turunan ketiga bisa sampai 4 kali dan seterusnya.

Jadi seperti itu yang bisa kita gunakan untuk meningkatkan.

Dan tujuannya adalah harapan kita dengan polinomial yang lebih tinggi maka hasilnya akan lebih akurat.