Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas interpolasi polinomial dengan menggunakan basis standar, yang terdiri dari x pangkat i sebagai basisnya. Dalam konstruksi polinomial order n, diperlukan n plus 1 data interpolasi. Melalui syarat interpolasi, diperoleh sistem persamaan linear yang dapat diwakili dalam matriks Vandermonde. Penyelesaian sistem persamaan linear ini membutuhkan pendekatan khusus untuk efisiensi algoritma, terutama saat jumlah data kecil seperti contoh kasus dengan 3 data.

Baiklah, sekarang kita akan memfokuskan perhatian kita pada ruang fungsi yang sangat sederhana yang disebut dengan polinomial.

Jadi, kita sebut sekarang sebagai interpolasi polinomial.

Oke, sekedar informasi awal bahwa suatu polinomial berderajat n, artinya x yang tertinggi itu pangkatnya n gitu ya,

jadi pangkat tertinggi dari x-nya adalah n, dari variablenya, itu berada pada ruang dengan dimensi n plus 1.

Misal konstanta, jadi itu contoh polinomial yang paling rendah dengan derajat 0, itu sebuah konstanta, itu degree of freedom ataupun dimensinya 1.

Derajat 0, jadi kalau derajat 0, dia 1 dimensinya.

Yang kedua adalah garis lurus, garis lurus itu dimensinya 2, ingat persamaan garis lurus itu y sama dengan mx plus n berarti ada 2 parameter yang bebas m dan n,

tapi derajat x tertingginya adalah 1, jadi selalu n jumlahnya itu adalah 1 lebih besar daripada pangkat tertinggi dari polinomialnya.

Sehingga kalau saya ingin menginterpolasi dengan polinomial order n, saya membutuhkan n plus 1 data.

Kita kembali kepada data kita tadi, jadi data yang tersedia itu adalah xi,yi, dimana i-nya dari 0 sampai dengan n, artinya exactly n plus 1 data yang kita miliki.

Sekarang kita akan mencari polinomial pn, katakanlah x, suatu polinomial order n,

dengan syarat atau ketentuan bahwa pn xi itu harus sama dengan yi, jadi ini yang ingin kita konstruksikan.

Kita akan pakai beberapa basis, jadi ada 3 basis yang ingin kita gunakan, pilihan pertama kita gunakan basis standar,

yaitu basis yang selama ini kita kenal, yang sering kita gunakan dan untuk menyajikan sebuah polinomial,

kita menggunakan basis ini biasanya, yaitu x pangkat i, jadi adalah basisnya.

Jadi kita katakan basisnya itu mulai dari x pangkat 0 konstanta 1 kemudian x, x kwadrat sampai dengan x pangkat n.

Jadi ini ada n plus 1 anggota dalam basis ini, sehingga sesuai dengan representasi terhadap basis tadi,

pn x itu dapat kita tuliskan sebagai katakanlah a 0 ditambah dengan kali 1 sebetulnya, kemudian a 1 kalikan x,

a 2 dikalikan x kwadrat, terakhir adalah a yang ke n kalikan x pangkat n.

Jadi ini biasanya kita menyajikan menuliskan polinomial seperti ini,

atau kadang-kadang kita balik dimana x pangkat terbesarnya kita taruh di depan,

jadi katakanlah a 0 kali x pangkat n, tapi saya sengaja pilih ini supaya indeks dari koefisiennya itu sama dengan pangkat dari x.

Jadi di sini kan a 0 kali x pangkat 0 yaitu 1, basis pertama a 1 x pangkat 1, a 2 x kwadrat dan seterusnya.

Kalau kita lihat persyaratan polinomial yang ada, maka ini akan membawa kita pada persyaratan interpolasi yang akan kita impose,

maka ini membawa kita pada sistem persamaan linear seperti ini.

Jadi ini adalah a 0, a 1 sampai dengan a n yaitu parameter yang ingin kita tentukan, kita cari.

Jadi dalam konstruksi P yang kita tidak tahu kan, koefisien-koefisien ini yang ingin kita cari.

Untuk mencari a 0 sampai a n kita bisa gunakan syarat interpolasi tadi.

Di sini saya punya y 0, y 1 sampai dengan y n.

Koefisien untuk a 0 itu selalu 1, berapapun nilai dari x nya.

Kemudian di sini kita selalu punya x 0, di sini x 0 kwadrat dan terakhir adalah x 0 pangkat n.

Di baris kedua ada x 1, x 1 kwadrat, artinya saya substitusikan x 1 di sini,

maka a 0 ditambah a 1 kali x 1 ditambah a 2 kali x 1 kwadrat,

jadi x 1 kwadrat sebagai koefisien dari a 2 dan selanjutnya di sini adalah x 1 pangkat n.

Terakhir di sini adalah x n, x n kwadrat, terakhir di sini adalah x n pangkat n.

Nah, lagi-lagi tadi kita tahu bahwa x i ini berbeda satu sama lain, tidak ada yang sama untuk indeks yang berbeda.

Maka matrik ini jelas merupakan matrik yang non-singulair dan kita kenal dengan matrik van der monde.

Dan dari sistem persamaan linear kita tahu ini merupakan bentuk matrik khas atau matrik khusus

yang penanganannya juga untuk mendapatkan efisiensi dari algoritmanya,

kita tidak selesaikan biasanya dengan algoritma eliminasi gauss,

tapi menggunakan algoritma khusus sebagai persamaan linear khusus.

Kita tidak akan bahas karena ini sudah kita bahas di chapter yang lalu,

namun kita akan kasih contoh untuk jumlah data yang kecil ini masih sangat mudah untuk kita cari solusinya

karena sistem persamaan linearnya hanya akan kecil saja.

Misalnya kalau saya punya 3 data berarti kita akan mencari suatu polynomial order 2

atau kuadratik atau parabolik dan kita akan menyelesaikan suatu sistem persamaan linear ukuran 3 x 3.