Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas tentang kapan persamaan normal tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan Persoalan Kuadrat Terkecil. Persamaan normal digunakan untuk mencari solusi dari Lewis square problem dengan mensolve sistem persamaan linear ujur sangkar. Namun, persoalan ini hanya dapat diselesaikan jika kolom-kolom dari matriks A bebas linear atau full rank. Kelemahan dari menggunakan persamaan normal adalah ketika condition number dari A kwadrat menjadi sangat besar, sehingga lebih disarankan untuk tidak menggunakan persamaan normal untuk persoalan yang memiliki dimensi besar. Sebagai alternatif, digunakan teknik atau metode transformasi orthogonal untuk menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil.

Pada saat kita membahas tentang eksistensi solusi, kita dapati bahwa titik minimizer atau solusi dari Lewis square problem tersebut

dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan normal

yaitu A transpose A kalikan E sama dengan A transpose B

dan kita sudah tahu bahwa ini adalah sistem persamaan linear ujur sangkar

sistem persamaan linear ujur sangkar biasa

untuk lebih mempermudah permasalahan kita tahu juga bahwa A transpose A itu pasti simetrik

dan apabila kolom-kolomnya memang tidak bebas, semua bebas linear

jadi semua tools yang kita sudah pelajari tentang sistem persamaan linear

bisa kita gunakan untuk menyelesaikan persoalan Lewis square

namun ternyata ada masalah, jadi ini hanya bisa diselesaikan

jika kolom-kolom dari A itu bebas linear, semua bebas linear

ini yang sering kita sebut sebagai rank penuh atau full rank

dalam hal ini kita tahu betul variable-variable atau parameter-parameter yang kita libatkan dalam model

tapi kenyataannya dalam modeling, para peneliti ataupun yang melakukan kajian di lapangan

mereka tidak tahu persis apakah parameter-parameter tersebut semuanya memang bebas linear atau tidak

saya ambil contoh, misalnya saya ingin melihat pengaruh dari beberapa parameter yang menentukan indeks prestasi dari mahasiswa

apa saja kira-kira, orang akan menggunakan indeks prestasinya ditentukan oleh jam belajar

jadi dia makin banyak belajar makin tinggi indeks prestasinya

kemudian yang kedua ditentukan oleh nilai raport di SMA

jadi nilai raport SMA, kemudian dia jumlah jam belajar selama menjadi mahasiswa

kemudian yang ketiga apalagi, misalnya kita akan duga bahwa IP tersebut juga akan bergantung atau ditentukan oleh

ya katakanlah kalau tadi jumlah jam belajar itu kita secara khusus ingin tahu jumlah absensi ataupun dia benar-benar masuk kuliah atau tidak

di perkulihan mata kuliah tersebut, jadi kalau dia sering bolos mungkin akan turun EPK-nya

jadi kalau dia mengambil jumlah SKS tertentu tinggal dihitung saja berapa kali dia bolos dalam satu semester misalnya

kelihatannya sepintas ketiga parameter ini saling bebas linier

raport SMA, jumlah jam belajar, kemudian frekuensi dia hadir di perkuliahan

tapi kalau kita lihat lebih jauh kelihatannya ada, kita dapat mulai mencurigai orang-orang yang jam belajarnya tinggi

biasanya termasuk orang yang tekun, dan tekun itu tidak bisa diberubah secara overnight

jadi waktu di SMA dia memang sudah tekun juga, yang menyebabkan nilai raport SMA-nya juga tinggi

jadi orang-orang yang tekun itu cenderung akan tetap tekun

atau bisa juga kita katakan orang yang belajarnya tekun berarti dia akan sering menghadiri perkulihan dong

hal inilah yang menyebabkan tidak selalu ada jaminan bahwa kolom-kolom dari matrix A yang dalam hal ini kita ingin coba selesaikan

akibatnya apa? persamaan normal ini tidak selamanya bisa dipakai

by the way saya tidak akan menjelaskan bagaimana menyelesaikan persamaan normal

karena ini topik yang kita bahas di sistem persamaan linier

tapi saya langsung akan menunjukkan kelemahan dari solusi dengan persamaan normal ini

adalah proportional dengan condition number A kwadrat

jadi ini A transpose A yaitu dikalikan dengan A transpose A inverse

definisi dari condition number kemarin adalah perkalian antara norm matrix dikalikan dengan norm dari inversenya

kita tahu memang bahwa inverse matrix tersebut hanya berlaku untuk matrix yang bujur sangkar

A tidak bujur sangkar tapi A transpose A bujur sangkar

tapi yang ingin saya buka sekarang adalah bahwa ini ternyata proportional dengan

atau mendekati condition number dari A kwadrat

dia akan proportional dengan condition number dari A kwadrat

tentu saja kita belum introduce condition number dari matrix yang tidak bujur sangkar

karena istilah inverse menjadi tidak relevan

walaupun sebetulnya kita punya juga istilah pseudo inverse

jadi dalam hal ini kita menggunakan pseudo inverse dari A

tapi in a way, bayangkan kalau condition number A nya itu adalah

condition number dari A nya sama dengan 10 pangkat 5

masih oke sih, tidak terlalu besar dalam konteks A nya sendiri

tapi condition number dari A kwadrat berarti apa?

jadi akibatnya condition number dari A transpose A itu akan proportional dengan 10 pangkat 10

tapi A transpose A bisa menjadi sangat ill condition

karena condition number nya menjadi sangat besar

akibatnya apa? kita memang sebaiknya tidak menyelesaikan persoalan kwadrat terkecil

atau least square melalui persamaan normal

dengan catatan tentu saja untuk persoalan yang M maupun N nya besar

atau katakanlah masih sangat mudah kita selesaikan secara manual

maka ya selesaikan dengan persamaan normal juga boleh sepanjang tadi

jadi kalau rank nya penuh selesaikan pakai persamaan normal

jadi kalau dimensi nya besar jangan gunakan persamaan normal

kita akan masuk ke topik yang menjadi teknik ataupun metode penyelesaian persoalan kwadrat terkecil kita

yaitu menggunakan transformasi orthogonal