Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas kasus rank tak penuh pada persoalan kuadrat terkecil, di mana matriks coefficient memiliki kolom-kolom yang tidak saling bebas linier. Hal ini mengakibatkan perlu adanya treatment khusus untuk menyelesaikan persoalan least square. Dalam kasus ini, kita perlu mengumpulkan kolom-kolom yang independent linier ke depan dengan menggunakan strategi pivoting kolom. Implementasi dalam environment Octave juga disertakan untuk menjelaskan proses householder atau given jika kolom-kolom tersebut saling dependent linier. Default metode penyelesaian least square sebaiknya menggunakan pivoting kolom sebagai langkah aman, kecuali diketahui bahwa kolom-kolomnya saling bebas linier.

Persoalan least square atau persoalan kuadrat terkecil

perlu kita lakukan treatment secara khusus

apabila kolom-kolom dari matrik coefficient-nya tidak saling bebas linier.

Ini kita sebut juga dengan kasus rank tidak penuh atau rank deficient.

Kasus seperti ini terjadi apabila pada saat pemodelan

variable-variable yang dilibatkan dalam model itu ada yang tidak independent

atau ada yang dependent linier atau tidak bebas linier.

Perhatikan bahwa kita masih memiliki problem AX sama dengan B

yang secara matematik merepresentasikan suatu least square problem

di mana A itu berdimensi M kali N, M banyaknya baris dan N banyaknya kolom.

Nah, masalahnya adalah dari kolom-kolom A yang ada

itu tidak semuanya independent linier, ada sebagian dari kolom-kolom ini yang dependent linier.

Nah, apabila kita melakukan faktorisasi QR yang kemarin kita lakukan

yaitu membawa ini menjadi bentuk segitiga atas seperti ini

maka apa yang terjadi adalah bentuknya tidak menjadi segitiga atas seperti yang kita harapkan

Jadi, ini tentu saja masih merupakan matrik segitiga atas yang bujur seangkar

tapi di sini ada matrik lain dan nolnya itu ada di sini.

maka dimensi dari yang bentuk segitiga pojok sini itu hanya K

Jadi, kita mendapatkan yang bujur seangkar di sini adalah K kali K apabila rang dari A

jadi misalkan banyaknya kolom yang independent linier itu adalah K

maka kita akan dapatkan bentuk seperti ini.

Ada sedikit masalah di sini bahwa kolom-kolom yang saling bebas linier tersebut

itu belum tentu semuanya ngumpul di depan.

Jadi, akan ada nanti kolom satu katakanlah bebas linier

tapi kolom keduanya merupakan multiplikasi skalar dari kolom pertama

Kemudian kolom ketiga bebas linier lagi, kolom keempat bebas linier

tapi kolom kelima dependent linier dan seterusnya

maka ada kebutuhan kita untuk mengumpulkan kolom-kolom yang bebas linier tersebut

harus semuanya kita taruh di depan supaya kita dapatkan bentuk yang seperti ini.

Bagaimana caranya mengumpulkan kolom-kolom yang independent linier itu ke depan?

Kita akan menggunakan strategi pivoting kolom atau kita pertukarkan

prinsipnya sederhana kita cari norm dari kolom-kolom itu pada setiap tahapan proses

yang normnya paling besar itu kita taruh di depan sebagai pivot kolom

atau kolom yang kita lakukan zeroing atau pengenolan.

Jadi, itu basically sehingga apa yang terjadi dari A

itu akan kita ubah menjadi bentuk seperti ini, saya namakan ini tetap adalah R1 katakanlah

kemudian C itu berukuran tentu saja tadinya n dikurangi k

Ini kita tetap menggunakan transformasi ortogonal yang kemarin kita gunakan seperti householder

ataupun given akibatnya minimizer jadi titik minimum dari

norm AX kurang B, norm 2 ini itu akan sama dengan

tentu saja minimizer dari saya bisa pecah

jadi cukup kalau saya mendapatkan R1 lagi-lagi

kali kan X dikurang saya namakan sekarang B1 katakanlah

nah disini akan ada tentu saja residual yang tetap kita akan ambil B2 yang tidak kita pakai

nah mirip kemarin dengan yang kasus rang penuh kita harus menyelesaikan ini

tapi dengan catatan kita hanya akan memperoleh k dari variable X

kita punya sebanyak k komponen dari solusi ini

jadi lebih panjang daripada kasus rang penuh

dimana yang rang penuh kemarin dia kan m-n

nah sekarang m-k dimana k itu lebih kecil dari n

ini teorinya jadi kita harus melakukan pivoting kolom atau pertukaran kolom

dengan mengambil kolom yang nomnya paling besar pada saat kita proses itu kita taruh di depan

ilustrasi saja misalnya saya punya matrik 3 kolom

jadi pertama saya akan cari dari ketiga ini

katakanlah yang nom paling besarnya itu adalah ini

maka saya harus lakukan swap atau pertukaran kolom 1 dengan 2

nah setelah saya tukarkan maka tentu saja saya bisa lakukan proses householder seperti biasa

sehingga yang ini akan saya nolkan terlebih dahulu

sehingga dari sini nanti akan dapat bentuk seperti ini

setelah ditukar jadi kolom ini yang akan kita nolkan

tadinya kolom 2 sudah duduk di posisi kolom 1

kalau keduanya ini saling dependent linear

maka pada saat saya nolkan ini dia akan ikut nol juga nih

ingat bahwa proses zeroing baik itu householder maupun given

yang akan membawa faktornya itu pada map ataupun image yang sama

akibatnya kalau yang satu dibawa ke sumbu, yang lain juga dibawa ke sumbu