Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas konvergensi Metode Fixed Point dalam konteks Persamaan Nonlinear. Konvergensi terjadi ketika jarak antara Xn dengan Xn-1 semakin mendekati 0, menunjukkan pendekatan ke solusi. Fungsi G harus memenuhi syarat turunan pertamanya harga mutlaknya kurang dari 1 agar konvergensi terjadi. Metode Newton diperkenalkan sebagai alternatif dalam mencari skema iterasi yang efektif. Penelitian lebih lanjut diperlukan untuk memastikan tingkat konvergensi yang optimal.

Barisan counter gain Xn itu akan counter gain jika ada beberapa sih teori.

Yang pertama bahwa jarak antara Xn dengan Xn-1 itu makin lama makin menuju 0,

makin lama dia makin dekat satu sama lain, ini yang pertama.

Yang kedua ini atau jika X star adalah solusi maka untuk K tertentu,

untuk n yang cukup besar Xn dikurang X star artinya jarak dari Xn terhadap X star

itu harus lebih kecil daripada yang sebelumnya Xn-1 dikurang X star.

Maksud akal kan bahwa saya ingin makin lama makin mendekati ke solusi ini

kalau barisan ini counter gain dikatakan counter gain ke X star

apabila Xn itu makin lama makin dekat dengan X star,

artinya Xn-1 lebih jauh dari X star dibanding dengan Xn.

Saya perlu agama utla karena bisa saja dia di sebelah kiri atau sebelah kanan,

Untuk itu sekarang kita mau selidiki G tadi yang memberikan properti ini yang seperti apa,

apa syarat yang harus dipenuhi oleh fungsi G tersebut.

Kalau kita definisikan misal, kita definisikan error pada posisi ke K itu adalah Xn,

error pada posisi ke n adalah Xn dikurang X star,

maka error pada ke n plus 1 ini akan sama dengan Xn plus 1 dikurang X star,

Tapi Xn plus 1 tadi apa? Itu GXn, Xn plus 1 itu adalah GXn

Sementara X star itu adalah titik solusi.

Pada saat dia mencapai solusi maka antara Xn plus 1 dengan GXn itu sudah menjadi sama,

dia sudah berimpit, berarti GX star itu akan sama dengan X star ini sendiri.

Ini saya sebut, saya ganti dengan X star ini saya ganti dengan GX star,

karena ini adalah titik konvergensinya dia.

Kalau sudah konvergens tidak berubah artinya X star yang berikutnya sama dengan yang sebelumnya.

Nah dari sini kita ingat ada yang namanya teorema nilai tengah,

yang mengatakan bahwa kalau saya punya fungsi yang differentiable atau dapat diturunkan,

maka pasti saya bisa temukan titik di tengah-tengah atau di antara,

di mana turunan di titik C itu akan sama dengan ini,

jadi tali busur ini sama dengan garis hinggung arahnya,

jadi tangan dari garis yang menyinggung ini sama dengan slope atau tangan dari tali busur ini.

So, apa yang saya dapatkan F aksan C sama dengan F B dikurang F A dibagi B minus A.

Artinya apa? F B dikurang F A pasti dapat saya temukan C,

sedemikian ini sama dengan F aksan C kalikan B minus A.

katakanlah ada titik namanya X N tilde atau untuk memudahkan saya namakan C saja,

jadi ada titik C dan ini akan sama dengan X N dikurang X star yang sama dengan G aksan C dikalikan dengan E N,

jadi kalau tadi E N plus 1 disini, yang E N disini.

Nah, ingat bahwa agar dia convergen jarak di N plus 1,

jadi kalau ini saya ganti dengan N plus 1,

ini harus lebih kecil daripada jarak yang sebelumnya pada N,

berarti nilai ini harga mutlaknya harusnya lebih kecil daripada nilai ini.

Untuk itu kita dapatkan bahwa okal demikian,

maka G aksan C itu harus lebih kecil satu,

Nah, ini adalah persyaratan umum yang harus dipenuhi oleh G,

bahwa di sekitar titik solusi lebih luas lebih baik,

kita membutuhkan G itu punya slope atau turunan pertamanya harga mutlaknya kurang dari 1.

contoh kita tadi kan G X sama dengan X kuadrat plus 1 per 2,

berarti G aksan X itu akan sama dengan X,

berarti agar G aksannya ini lebih kecil dari 1,

agar dia convergen pasti solusi yang akan kita cari itu di antara minus 1 sampai dengan 1.

Nah, tadi kebetulan soalnya adalah X kuadrat minus 2 X plus 1 gitu ya,

yang saya tahu ini sama dengan X minus 1 kuadrat,

jadi titik yang akan dituju itu adalah titik 1.

Nah, kelihatannya skema kita ini ada harapan untuk menuju,

karena pada selang dari minus 1 sampai 1,

kondisinya pada saat dia sama dengan 1 sih masih oke,

yang enggak boleh dia lebih besar dari 1,

kalau dia lebih besar dari 1 dia akan amplify,

makin besar N dia makin jauh dari solusi gitu.

Jadi, ini menunjukkan bahwa apa yang tadi kita gunakan,

dan seterusnya kelihatannya akan setengah dengan 5 per 8 kan lebih besar,

jadi kalau kita itu yang berikutnya itu pasti juga lebih besar daripada 5 per 8,

Oke, jadi ini teori umum dalam penyelesaian persoalan non-linear,

kita akan mencari atau menetapkan atau memilih skema iterasi yang secara abstrak,

jadi kita akan mencari skema iterasi G tersebut.

Nah, tentu saja pada kenyataannya ya tidak mudah untuk membangkitkan

atau mencari G yang memiliki properti yang bagus seperti ini, gitu.

Untuk itu kita akan mengintroduce metode yang memang sudah dikembangkan sebelumnya,

dan kita bisa selidiki nanti apakah dia benar-benar memiliki tingkat konvergensi yang baik atau tidak.

Untuk itu kita akan introduce metode Newton.