Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas konstruksi matriks ortogonal menggunakan matriks Householder untuk menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil. Matriks Householder didefinisikan sebagai identitas dikurangi hasil operasi tertentu terhadap vektor V. Matriks ini digunakan untuk transformasi menjadi matriks segitiga dan memiliki sifat ortogonal serta simetrik. Proses pengenolan pada faktor V memungkinkan efek zeroing pada matriks, memudahkan operasi matematis. Dengan pemilihan V yang tepat, matriks H kali X dapat menghasilkan X dikurangi suatu nilai.

Kita akan konstruksikan sekarang matrik ortogonal yang menggunakan apa yang dikenal dengan matrik house holder.

Matrik house holder sebagai matrik house ortogonal

yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat terkecil.

maka matrik house holder A adalah sebagai berikut

Jadi matrik identitas dikurangi dengan 2 dibagi V transpose V dikalikan dengan V kali V transpose

Ini yang disebut dengan matrik house holder untuk sembarang V yang tidak nol

Perhatikan bahwa ini adalah skalar, V transpose V itu adalah skalar inner product

dan ini adalah matrik, V kali V transpose ini adalah matrik yang rangenya 1

Jadi sebetulnya matrik house holder itu adalah matrik identitas yang diupdate dengan suatu matrik yang punya range 1

atau dikurangi dengan suatu skalar kali matrik range 1

Nah, selanjutnya kita ingin tunjukkan terlebih dahulu

Namun sebelumnya kita tunjukkan bahwa H adalah matrik simetrik

Gampang kan? Karena V V transpose ini simetrik

Jadi matrik simetrik dikurang matrik simetrik pasti dia simetrik

maka artinya H itu inversenya adalah H transpose

Tapi karena dia simetrik berarti H kali H harus sama dengan I

Ini sama saja dengan mengatakan bahwa H kwadrat sama dengan matrik identitas

Karena dia transposenya sama dengan dirinya sendiri

H adalah simetrik berarti transposenya adalah diri sendiri

Dia ortogonal jika H transpose sama dengan H inverse

Tapi H transpose sama dengan H berarti H kwadrat sama dengan I

Nah, benarkah ini? Ini kita ingin tunjukkan

Jadi, H kwadrat itu kan sama dengan I dikurang 2 dibagi V transpose V

Dikalikan dengan I dikurang 2 per V transpose V

Sekarang saya akan lihat ini dikalikan dengan ini

Sedangkan yang ini dikali I itu min 2 juga

Berarti ini akan sama dengan minus 4 V transpose V

Namun, coba ini kalau saya buka kurungnya

Maka saya akan dapatkan ada V transpose kali V disini

Jadi kalau ada matrik memuat skalar dalamnya

Skalarnya itu kita bisa keluarkan dari matrik

Berarti V transpose V ini saya bisa kurangkan

Kali V transpose saja karena yang dalamnya hilang

Jadi benar bahwa matrik H tersebut adalah ortogonal

Nah sekarang kita belum tunjukkan ini bermanfaat

Nah untuk itulah kita akan pilih V nya sekarang

Sedemikian sehingga dia punya efek zeroing

Ternyata H kali X itu sama dengan X dikurang sesuatu