Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas pencarian matriks Jacobi dari fungsi non-linear vektor dalam Analisis Numerik. Konsep matriks Jacobi adalah turunan pertama dari fungsi tersebut di suatu titik, diilustrasikan dengan rumus turunan parsial. Proses mencari elemen matriks Jacobi melibatkan pergeseran variabel secara hati-hati dengan pendekatan yang akurat. Implementasi dalam coding membutuhkan trik tersendiri, di mana pergeseran variabel dilakukan dengan cermat untuk mendapatkan hasil yang tepat. Langkah selanjutnya adalah mengembangkan fungsi Octave untuk mencari Jacobian dan menjalankan metode Newton untuk sistem tersebut.

Sekarang, saya misalkan tadi saya punya, jadi diketahui F satu fungsi non-linear

vektor dengan variable X itu di Rn ya, Fnya sendiri adalah fungsi dari Rn

ke Rn, kita akan cari, akan dicari matriks Jacobian dari F, jadi matriks Jacobian

maksudnya turunan pertama dari F di titik katakanlah X0, nanti X0nya tentu saja bisa diganti apapun gitu,

tapi adalah kita harus tahu di titik mana ini kita cari.

Oke, analogi sudah kita kembangkan sebelumnya atau kita sudah turunkan sebelumnya,

jadi ingat bahwa kemarin kita sudah dapatkan suatu pendekatan bahwa turunan pertama di titik X0 untuk fungsi skalar

itu akan sama dengan F X0 ditambah H, dikurang F X0 dikurang H, dibagi dengan 2H.

Ini adalah pendekatan yang cukup akurat, dimana errornya itu proporsional dengan H kuadrat.

Nah sekarang bagaimana cara mencari JeJ, tadi kan namanya elemen ke I,J dari J itu kan turunan parsial dari F yang ke I terhadap X yang ke J.

Ini kan akan sama saja dengan kalau kita gunakan rumus ini,

berarti sama dengan F yang ke I itu variable yang ke Jnya kita tambah dengan H,

dikurangi dengan F yang ke I, variable ke Jnya dikurangi dengan H, dibagi dengan 2H.

Namun perhatikan apa yang saya maksud dengan F I X J plus H, artinya selain X J itu tidak diubah gitu ya.

Sorry, kita tadi bicara tentang di titik X0, jadi kalau di titik X0 berarti ini adalah X0 J,

jadi ini adalah X0 yang ke J, itu yang saya akan jas ataupun sesuaikan X0 yang ke Jnya ditambah H, X0 yang ke Jnya dikurang H.

Ingat X0 tadi adalah faktor secara keseluruhan ada N entry di dalamnya,

maka komponen yang ke Jnya saya tambah H, komponen yang ke Jnya saya kurang H, masukkan ke F I.

Jadi masukkan ke F I, bukan ke F yang lain, karena ini saya bicara tentang J I J.

Jadi kuncinya adalah kalau mencari entry yang ke I, J, fungsinya harus fungsi ke I,

variablenya adalah variable ke J yang harus kita geser.

Implementasinya nanti dalam coding tentu saja membutuhkan trik tersendiri, jadi katakanlah saya punya X0.

Nah gimana caranya, saya hanya menggeser X0 yang ke J saja ditambah H.

Jadi kalau saya cari sekarang, katakanlah saya akan namakan X0JH itu akan sama dengan X0 I, X0 II sampai dengan X0 yang ke J,

sampai dengan X0 yang ke N, kebetulan kan X0 tadi adalah faktor yang panjangnya N.

Ini saya harus tambahkan, selain X0J itu tidak boleh ditambah apa-apa, jadi yang ditambahkan dengan H itu adalah hanya yang ini,

X0 yang ke J ditambah H, sedangkan yang lainnya tetap, jadi X0 I, X0 II sampai X0J-I itu kemudian X0J plus 1 sampai XN juga tidak boleh digeser,

jadi hanya yang ke J saja yang saya akan geser sejauh H atau ditambahkan H.

Ini secara programming gampang untuk melakukannya, kemudian yang kedua kita akan definisikan, katakanlah X0J,

ini yang plusnya, H plus, X0JH minusnya itu adalah X0 I, kemudian X0 yang ke J saya kurangi H, dan ini adalah X0N.

Jadi saya membutuhkan dua variable ini yang akan masuk ke F1, jadi saya panggil F yang ke I kita masukkan variable ini, F yang ke I masukkan variable ini.

Inilah untuk mendapatkan dua skalar ini, kalau yang ini pembagian dengan H, ingat kemarin H adalah suatu bilangan kecil yang mungkin cukup untuk kita ambil hanya sekitar 10 pangkat minus 5 atau 10 pangkat minus 4 sebetulnya sudah cukup akurat,

karena akurasinya akan proportional dengan H kuadrat.

Oke, kita akan coba kembangkan sekarang code ataupun fungsi Octave untuk mengimplementasikan pencarian Jacobian dulu dan kemudian kita gunakan fungsi tersebut untuk menjalankan metode Newton untuk sistem.