Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas eksistensi solusi dalam persoalan kuadrat terkecil dengan persamaan normal. Persoalan tersebut berkaitan dengan mencari nilai minimum dari norm 2 dari A x dikurang B, yang pada dasarnya setara dengan mencari minimum dari kuadratnya. Dengan menggunakan persamaan normal, yaitu A transpose A kali x sama dengan A transpose B, kita dapat menentukan apakah solusi x ada atau tidak tergantung pada sifat matriks A transpose A yang bersifat nonsinguler. Jika matriks tersebut nonsinguler, maka solusi x pasti ada.

Setelah tadi kita melihat formulasi dari suatu least square problem atau persoalan kuadrator kecil,

maka sekarang kita ingin menunjukkan bahwa solusi yang kita ingin cari yang merupakan titik minimum

dari A x di kurang B, norm 2 dari A x di kurang B itu ada sifatnya.

Oke, sekarang bagaimana kita tunjukkan eksistensi atau keberadaan dari solusi.

Dari problem kita ingat, kita sudah pindahkan problem bukan mencari A x,

eh mencari x sedemikian sehingga A x sama dengan B,

tapi mencari x yang meminimumkan A x di kurang B, norm 2.

Kita ingin cari eksistensi dari solusi tersebut.

Nah, saya akan tunjukkan dengan dua cara.

Cara yang pertama, saya tahu bahwa definisi dari norm A x di kurang B, norm 2 itu,

itu adalah sama dengan akar dari A x di kurang B transpose kali A x di kurang B.

Ini definisi, di topik sebelumnya mungkin masih ingat,

ini saya catatan aja bahwa untuk sembarang x vektor,

maka norm 2 dari x itu adalah akar dari x transpose x.

Ini rumus yang kemarin sudah kita pelajari.

Nah, sekarang berarti norm 2 dari A x kurang B sama dengan ini.

Nah, namun saya ingin tunjukkan bahwa bentuk ini minimizernya itu sama saja dengan kuadratnya.

Akibat dari sebetulnya kan ini kalau Anda lihat, ini sama dengan akar dari sigma x i kuadrat.

Kuadratik function itu hanya punya satu titik minimum, jadi bukan multiple sifatnya,

di mana titik yang meminimumkan ekspresi kuadrat ini tidak akan berubah kalau saya kuadratkan.

Jadi, mencari minimum dari norm A x minus B, norm 2 nya sama saja dengan mencari minimum dari kuadratnya.

Jadi, minimizernya, titik minimum x dari A x minus B 2 itu sama dengan minimizernya.

Jadi, perhatikan yang saya cari ini x-nya aja, bukan titik minimumnya.

Jadi, problem saya sekarang bukan mencari berapa nilai minimumnya,

Jadi, yang saya cari adalah nilai x yang meminimumkan.

Mungkin supaya tidak rancu, saya ubah tulisannya bahwa

Jadi, x yang meminimumkan norm A x minus B

saja atau norm 2 nya itu sama saja dengan x yang meminimumkan kuadratnya.

Kenapa? Alasannya tadi bahwa ini basis atau dasar dari ekspresi ini adalah fungsi kuadrat

walaupun diakarkan fungsi A kuadrat itu pasti hanya punya single atau satu titik minimizer

dan minimizernya tidak akan bergerak, titiknya bukan ketinggiannya, titiknya akan bergerak

Nah, sekarang dengan adanya fakta ini, maka saya sekarang definisikan suatu fungsi

katakanlah suatu fungsi psi x seperti ini yaitu sama dengan A x minus B 2 kuadrat.

Yang tentu saja ini akan sama dengan A x dikurang B transpose dikalikan A x dikurang B

dan kita tahu ini akan sama dengan A x dikurang B transpose itu akan sama dengan

x transpose A transpose dikurang B transpose.

Jadi, kalau ada perkalian A kali x di transpose maka dia akan terbalik urutannya x transpose kali A transpose

sedangkan B tentu saja menjadi B transpose.

Kalau ini dikurang atau ditambah tidak akan berubah.

Tetap saja ini transpose dikurang ini transpose dikalikan sekarang dengan A x dikurang B.

Dan ini kalau saya lakukan perkalian saya akan dapatkan x transpose kali A transpose

Nah, sekarang perhatikan bahwa kalau saya kalikan ini dikalikan ini

itu dan ini dikalikan ini itu merupakan saling transpose.

Perhatikan bahwa x transpose kali y itu sama saja dengan y transpose kali x.

Jadi, inner product seperti ini dia bersifat komutatif.

Jadi, x transpose kali A transpose kalikan B sama saja dengan B transpose kali A x.

Berarti ini akan sama dengan 2 kali x transpose A transpose B.

Karena x transpose A transpose B sama saja dengan B transpose A transpose x.

Dan terakhir ditambah dengan B transpose B.

Nah, ini adalah suatu ekspresi kwadratik sebetulnya dalam fungsi skalar.

Jadi, ini karena fungsi variabelnya adalah vektor maka akan ada transpose seperti ini.

Tapi dalam ekspresi skalar ini sama saja dengan fungsi kwadrat biasa

yaitu A x kwadrat ditambah B x ditambah C.

Sekarang, saya ingin mencari x yang meminimumkan fungsi ini.

Dan kita tahu bahwa dalam kalkulus minimizer tersebut akan dicapai

Jadi, x yang kita cari akan memenuhi turunan pertama sama dengan 0.

Nah, perhatikan kalau ini saya turunkan, jadi turunan pertama dari DC

per DE itu akan sama dengan, ini ada konstanta kalikan x kwadrat.

Konstanta kalikan x kwadrat kalau diturunkan berarti kan 2 dikalikan dengan A transpose A x.

Sedangkan ini, minus 2 kali konstanta kali x.

Minus 2 konstanta kali x, kalau saya turunkan berarti minus 2 kali konstantanya ini saja.

Jadi, dikurang 2 kali A transpose B, ini harus sama dengan 0.

Duanya saya bisa coret, berarti sekarang saya tunjukkan bahwa ini ternyata dapat dicari

apabila dipenuhi A transpose A kali x sama dengan A transpose B.

Dan inilah yang kita sebut dengan persamaan normal.

Nah, tentu saja ceritanya belum lengkap di sini bahwa x yang saya cari ternyata ada atau tidak

tergantung pada sistem persamaan linear ini, ada atau tidak solusinya.

Coba kita lihat kasus, apabila kolom-kolomnya independen linear,

pertama gini, A transpose A itu pasti berupa matrik berukuran n kali n.

Jadi, karena A saya tadi m kali n, maka A transpose A itu ukurannya n kali n.

Jadi, lebih kecil dia karena menurut kolom.

Jadi, matriknya A transpose A itu pasti bujur sangkar.

Selanjutnya, di sebelah kanan ini adalah suatu vektor,

Sehingga, secara matematis, saya memiliki sistem ukuran n kali n kalikan variable x

Jadi, ini merupakan sistem persamaan linear dengan n variable,

dengan koefisien matrik berukuran n kali n.