Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas cara menunjukkan bahwa matriks A^TA non-singular pada persoalan kuadrat terkecil dengan mengasumsikan kolom-kolom dari matriks A bersifat independen linier. Dengan menggunakan pendekatan norma, dapat disimpulkan bahwa A^TA positif definit, menjamin keberadaan solusi karena eigen value-nya positif. Namun, jika kolom-kolom matriks A tidak bebas linier, pendekatan orthogonal projection akan digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut.

Sekarang bagaimana menunjukkan bahwa A transpose A itu non-singulir?

Ternyata jaminan bahwa A transpose A itu non-singulir hanya bisa saya tunjukkan

apabila kolom-kolom dari A itu bersifat independen linier sebagai berikut.

Kalau kita lihat, jadi untuk sumbarang X yang tidak 0,

kalau X tidak 0 maka X transpose kali A transpose kali A kali X

ini akan sama dengan AX transpose kali AX, AX transpose kali AX.

Nah, coba perhatikan bahwa ini sama saja dengan norm dari AX norm 2 kwadrat.

Nah, perhatikan bahwa kalau X tidak 0 maka AX itu tidak mungkin 0

jika kolom-kolom dari A itu independen linier.

maka AX itu tidak mungkin sama dengan 0 karena Xnya tidak 0,

Artinya, jadi jika kolom-kolom dari A bebas linier

maka X transpose A kali A transpose kali A kali X itu pasti lebih besar dari 0.

Kalau dia tidak 0 berarti nilai normnya ini pasti positif.

Kita tahu bahwa kalau untuk sumbarang X yang tidak 0

ternyata X transpose kali A transpose kali A kali X positif

artinya ini kita simpulkan A transpose A itu positif definite.

Nah, kalau dia positif definite maka pasti non-singulir

karena semua eigen value-nya itu positif,

jadi tidak mungkin ada yang 0 dari eigen value-nya

tapi anyway dari definisi matrik positif definite

kita tahu bahwa setiap matrik yang positif definite itu pasti non-singulir.

Jadi sampai di sini ternyata eksistensi dari solusi

kalau pakai pendekatan bersama normal ini bisa saya jamin

apabila kolom-kolom dari matrik A tadi bebas linier.

bagaimana kalau kolom-kolom tersebut tidak bebas linier?

Kita akan menggunakan pendekatan yang lain,

yaitu pendekatan orthogonal projection sebagai berikut.