Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas metode Newton dalam penyelesaian persamaan non-linear. Metode ini juga dikenal sebagai Newton-Raphson, tetapi secara resmi disebut Newton method. Newton menggunakan pendekatan slope atau garis singgung untuk mencari titik temu antara fungsi dan sumbu x. Proses iterasi metode Newton didasarkan pada perhitungan turunan pertama fungsi. Metode ini secara otomatis menghasilkan barisan nilai yang mendekati titik konvergensi, dengan hanya memerlukan titik awal sebagai tebakan. Selanjutnya, dilakukan analisis apakah metode ini akan konvergen atau tidak.

Sekarang kita akan memperkenalkan salah satu metode yang sangat terkenal dalam penyelesaian persamaan non-linear

Di beberapa textbook kadang-kadang disebut sebagai Newton-Raphson gitu,

tapi yang official dan standarnya hanya disebut sebagai Newton method.

Ide-nya adalah sebagai berikut yang dilakukan oleh Newton.

jadi titik temu antara fx dengan sumbu x yang menyebabkan fx sama dengan 0.

Kalau saya berada di sini, katakanlah saya sekarang berada di xn,

kemana saya akan mengarahkan xn plus 1 atau menetapkan xn plus 1 kalau saya punya informasi tentang fungsinya.

Newton mengatakan bahwa salah satu yang bisa kita ambil adalah

karena saya akan trace atau ikuti arah trajektori dari fx itu dari sebelah kiri seperti ini kebetulannya,

maka saya akan ikuti arah dari slope atau garis singgung.

Dan saya asumsikan bahwa fx dari sini ke kanan itu mengikuti arah dari garis singgung ini.

Sehingga titik temu antara garis singgung dengan sumbu x ini adalah xn yang berikutnya.

nanti kemudian saya cari lagi ini garis singgungnya akan ke sini.

Saya dapatkan ini adalah yang ke n plus 2

dan dari sini nanti Anda akan lihat makin lama memang dia akan mendekati titik ini sebagai titik convergen.

Sekarang bagaimana caranya kita menemukan xn plus 1?

kita perhatikan bahwa saya membutuhkan berapa panjang dasar dari segitiga yang saya buat ini.

maka tangan theta itu akan sama dengan slope dari garis singgung f di titik xn.

Slope dari garis singgung itu sama dengan turunan pertama,

berarti ini akan sama dengan f aksen di titik xn.

Karena turunan pertama itu menyatakan koefisien arah atau tangan atau slope dari garis singgung,

Tapi saya membutuhkan panjang dari xn ke titik potong untuk menetapkan xn plus 1.

Coba perhatikan bahwa kalau ini adalah alfa,

maka tangan alfa itu sama dengan f xn dibagi dengan xn plus 1 ikuran xn.

Tangan itu kan depan dibagi dengan sisi bawah.

Sehingga saya dapat sekarang rumus xn plus 1 sama dengan xn,

saya akan bawa ke sana, berarti tangan alfa sebagai pembagi,

dikurang f xn, ditambah f xn dibagi dengan tangan alfa.

maka tangan alfa sama dengan minus tangan theta.

Berarti ini akan sama dengan xn dikurang f xn dibagi f aksen xn.

Nah inilah yang kita kenal dengan metode Newton,

iterasinya atau skema iterasinya adalah x yang ke n plus 1 sama dengan x yang lama,

dikurangi f di titik xn dibagi dengan turunan pertama di titik xn.

Ini yang kita sebut g tadi, jadi ini sebetulnya yang tadinya kita sebut sebagai g xn nya Newton.

Ini g xn nya Newton adalah xn dikurang f xn dibagi dengan f aksen xn.

Kita akan nanti tunjukkan bahwa turunan atau g aksen dari metode Newton ini memang memenuhi syarat yang tadi kita butuhkan.

Oke, perhatikan metode ini secara otomatis akan mengenerate,

membangkitkan barisan dan saya hanya membutuhkan sebuah titik awal yaitu x0 yang harus diberikan,

Jadi kalau x0 tahu saya bisa mencari x1 dengan menggunakan ini,

setelah dapat x1 saya bisa mencari x2 dan seterusnya.

Pada praktiknya nanti dalam coding kita bisa meng-override,

saya tidak membutuhkan sebetulnya barisannya, saya membutuhkan titik konvergensi terakhirnya,

jadi saya lakukan di-override aja, jadi x0 ke x0 lagi dan seterusnya.

Nah, sekarang kita akan selidiki apakah metode ini akan konvergen atau tidak.