Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas konsep norm atau ukuran pada vektor dan matriks dalam konteks Analisis Numerik. Terdapat beberapa jenis norm yang lazim digunakan, yaitu norm satu, Euclidean norm (norm dua), dan infinity norm. Norm satu didefinisikan sebagai jumlah harga mutlak elemen vektor, sedangkan norm dua sebagai akar dari sigma kuadrat elemen vektor. Sedangkan norm tak hingga adalah nilai mutlak terbesar dari elemen vektor. Dalam komputasi, penggunaan norm dengan P sama dengan satu atau tak hingga lebih disukai karena lebih mudah dan efisien secara komputasi.

Sejauh ini kita sudah mempelajari metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

dan ada dua algoritma penting yang sudah kita pelajari.

Pertama adalah eliminasi Gauss yang sering kita sebut sebagai Naive Gaussian Elimination

yang mentransform A menjadi U, B menjadi B yang baru.

Kemudian yang kedua adalah faktorisasi segitiga atau LU Factorization

pada matriks A. Kita juga sudah melihat kemarin bahwa

kompleksitas dari algoritma untuk mengkonversi A menjadi U

ataupun menjadi L kali U itu proportional dengan N pangkat tiga dibagi tiga.

Jadi ini bayangan untuk mungkin bisa dihubungkan nanti dengan waktu

yang diperlukan untuk memproses. Cukup mahal sebetulnya sampai N pangkat tiga.

Yang belum kita pelajari adalah bagaimana dengan akurasi dari hasil komputasi kita.

Untuk membahas akurasi ini kita membutuhkan konsep tentang norm

atau ukuran pada suatu vektor dan matriks,

karena kita bicara tentang vektor dan matriks.

Dalam teori aljabar linear kita sudah mempelajari bahwa

jika X adalah vektor pada ruang dimensi N,

ini kita akan menggunakan istilah P-norm,

P itu didefinisikan sebagai sigma harga mutlak elemen ke I pangkat P,

tapi ini secara keturunan kita pangkatkan seperti P.

Jadi ini yang disebut dengan P-norm dari suatu vektor X,

dimana I disini tentu saja dari satu sampai N,

jadi yang lazim dipakai adalah P-nya sama dengan satu, dua, dan tak hingga.

Jadi kalau P-nya sama dengan satu kita sebut sebagai norm satu,

P-nya sama dengan dua kita sebut dengan Euclidean norm.

Jadi ini adalah norm yang paling lazim kita gunakan,

dimana ini yang biasanya kita gunakan sehari-hari,

dan yang terakhir kalau P-nya tak hingga,

jadi kalau X itu katakanlah vektor dua, satu, tiga gitu ya,

maka norm satu dari X itu akan sama dengan harga mutlak dari satu kita jumlahkan,

jadi dua ditambah dengan mungkin supaya kelihatan fungsi dari harga mutlaknya,

saya ambil minus disini, jadi dua, satu, min tiga.

Jadi norm satunya adalah dua ditambah dengan satu,

harga mutlak ditambah dengan harga mutlak minus tiga,

dan ini saya pangkatkan satu, satu persatu satu,

jadi tidak perlu dihitung tinggal di sum saja,

berarti ini adalah akar dari sigma kwadrat,

berarti ini adalah empat ditambah satu ditambah sembilan,

Dan ini yang sering kita sebut sebagai panjang vektor dalam dimensi atau dalam konteks Euclidean distance,

Nah, terakhir bagaimana dengan norm tak hingga?

sebetulnya pada saat limit P menuju tak terhingga dari sigma ini,

maka dia akan yang survive itu hanya yang paling besar saja,

Jadi, mungkin saya definisikan saja di sini,

maka norm X satu sama dengan sigma harga mutlak I,

kita dapatkan norm dua sama dengan akar sigma XI kwadrat,

maka norm X tak hingga adalah max I harga mutlak XI.

Jadi, di antara XI, XI ini ambil harga mutlaknya yang terbesar yang mana,

berarti di sini adalah harga mutlak min 3 sama dengan 3.

sebetulnya sih norm yang apa namanya P yang lain bisa saja dipakai,

kita sering diuntungkan kalau menggunakan P sama dengan satu atau tak hingga,

karena lebih mudah untuk menghitungnya secara komputasi lebih sederhana.

Ingat bahwa yang norm dua itu perlu akar,

ini lebih costly untuk, lebih mahal untuk menghitungnya.