Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas teknik pivoting parsial dalam analisis numerik pada sistem persamaan linear. Pivoting parsial digunakan untuk mencari bilangan terbesar dalam harga mutlak pada kolom yang dieliminasi, dengan prinsip memilih elemen terbesar di bawah diagonal. Langkah selanjutnya adalah pertukaran baris berdasarkan bilangan terbesar yang dipilih. Contoh penerapan teknik ini disajikan dengan penyelesaian matriks melalui pertukaran baris yang tidak mengubah urutan variabel. Pivoting parsial merupakan tambahan penting dalam algoritma eliminasi matriks untuk mendapatkan solusi yang akurat.

Baik, nah ada dua teknik pivoting yang akan kita gunakan.

Yang pertama adalah apa yang kita sebut dengan pivoting parsial.

Jadi pivoting parsial ini basically kita mencari pivoting parsial.

Jadi kita akan mencari bilangan maksimum, ini dalam harga mutlak ya,

pada kolom yang kita eliminasi, yang dieliminasi.

Jadi proses, baik itu gaussian proses menjadi U maupun LU kemarin,

makanya kita melakukan eliminasi kolom per kolom dengan mengkonversi bilangan di bawah diagonal menjadi 0 gitu ya.

Jadi idenya adalah sebagai berikut, jadi ingat proses gauss kemarin itu seperti ini.

Jadi kalau saya punya matrik ukuran n kali n,

maka pada langkah ke k, katakanlah pada step ke k, ini saya bekerja pada kolom ke k.

Jadi kolom ke k ini yang harus saya nolkan semua elemen di bawah diagonal.

Jadi ini adalah baris ke k, artinya titik yang disini elemennya adalah ak k.

Nah inilah yang mau kita pilih, agar elemen k, k ini adalah yang terbesar pada kolom ini,

tapi mulai dari titik ini ke bawah, jadi kita tidak lihat lagi yang di atas,

karena tidak akan, yang proses yang di atas sudah selesai,

jadi ga mungkin kita akan ganggu-gugat lagi yang di atas,

jadi kita konsentrasi pada penyelesaian submatrik yang di bawah ini.

dari titik diagonal ak, k sampai ke n, k yang di bawah sini,

mana yang paling besar dalam harga mutlak.

Dalam harga mutlak, artinya kalau disini ada minus,

tapi bilangannya besar, itu yang kita pilih.

Nah katakanlah bilangan terbesar itu ada disini,

Jadi a, l, k inilah adalah bilangan yang paling besar dalam harga mutlak pada kolom ini,

maka langkah selanjutnya adalah kita swap, kita pertukarkan.

Ingat bahwa dalam operasi baris elementer yang kita pelajari di aljabar linear,

operasi pertukaran baris itu tidak mengubah sistem

atau solusinya akan tetap terjaga sama sepanjang tentu saja pertukaran baris ini,

Jadi memang kita perlu catat dalam hal proses LU, faktorisasi LU,

maka memang kita perlu mencatat baris mana yang sudah tertukar.

Tapi kalau konversi dari A ke U melalui Naive Gaussian atau Gaussian eliminasi yang standar,

maka karena B kita proses secara bersamaan,

ini tidak perlu kita catat baris mana dengan baris mana yang sudah tertukar.

Baik, sekarang kita ambil contoh, misalnya saya punya matrix seperti ini.

Di sini ada X1 kali elemen-elemennya adalah X1, X2, dan X3.

Katakanlah ini akan sama dengan 1, minus 1, 2 katakanlah.

Saya ingin mencari penyelesaian dari ini dengan menggunakan teknik pivoting parsial.

Pertama saya akan bekerja pada kolom pertama yang akan saya eliminasi adalah 2 dan 3.

Tapi kalau saya lihat elemen yang terbesar itu terletak pada baris ketiga.

Jadi ini adalah elemen terbesar sehingga pada proses yang pertama kali ini saya harus tukar dulu.

Jadi tukar baris ke satu atau pertama dengan baris ketiga.

Sehingga sistemnya berubah menjadi 3, 6, 10.

Kemudian baris pertama akan duduk paling bawah.

Nah, perhatikan bahwa pertukaran baris ini tidak mengganggu urutan variable.

Jadi urutan variable tetap, yaitu X1, X2, X3.

Tapi ruas kanan ikut berubah, jadi di sini jadi 2, minus 1, dan 1.

Nah, setelah kita lakukan ini maka lakukan proses seperti biasa.

2 per 3 sebagai elemen pertama dari L kalau kita pakai LU.

1 per 3 elemen keduanya, tapi kalau tidak pakai LU maka kita dapatkan konversi

dari matrik ini menjadi U secara bertahap seperti yang kemarin kita sudah jelaskan.

Ini yang kita sebut dengan partial pivoting.

Sekarang apa yang harus kita tambahkan dalam fungsi ataupun program atau algoritma

yang kemarin kita sudah pelajari bersama.

Hanya satu tambahan, yaitu pertama mencari bilangan terbesar,

yang kedua melakukan pertukaran baris, itu saja sebetulnya.

Selebihnya, bagian yang akan menggambarkan proses eliminasinya

akan sama saja dengan yang kemarin kita sudah jelaskan.