Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas propagasi error dalam komputasi numerik pada mata kuliah Analisis Numerik. Komputer menggunakan mesin epsilon untuk menyimpan bilangan float, yang dapat mempengaruhi presisi komputasi. Terdapat hubungan antara mesin epsilon dengan relatif error antara bilangan yang disimpan oleh komputer dan bilangan real yang seharusnya. Propagasi error terjadi saat error pada input mempengaruhi error pada output, yang dapat diperbesar seiring dengan proses komputasi yang berkepanjangan. Konsep bilangan kondisi (condition number) juga dibahas untuk memahami dampak error pada input terhadap akurasi output dalam komputasi.

Sekarang kita sudah memiliki beberapa informasi tentang bagaimana komputer menyajikan bilangan

dan terakhir kita sudah mengetahui adanya mesin epsilon

yang sebetulnya akan mempengaruhi tingkat presisi dari komputasi di komputer tersebut.

Nah sekarang misalkan kita sajikan X star sebagai bilangan float atau bilangan ambang, titik ambang

yang dikenali komputer atau disimpan di komputer.

Dan X adalah bilangan real yang bersesuaian.

Artinya apa? Sebetulnya kita maunya komputer itu menyimpan X, kita kasih input bilangan real X

tapi oleh komputer diterima atau disimpan sebagai real.

Jadi X star atau X topi, X hat seperti ini.

Nah ternyata ada hubungan antara mesin epsilon tadi dengan relatif error antara X topi dengan X.

topi tersebut, itu akan sama dengan X yang sebetulnya ditambah dengan 1 plus delta.

Dimana delta ini adalah relatif error antara X topi dengan X.

Jadi kalau kita rewrite ini secara keseluruhan, maka delta ini sama saja dengan

i.e. delta sama dengan X topi dikurang X dibagi X.

Jadi nulis ini dengan ini sama saja sebetulnya.

Nah, dengan harga mutlak dari delta itu tidak mungkin lebih besar dari mesin epsilon.

Saya tulis sekarang sebagai E epsilon, ini sebagai mesin epsilon.

Sehingga kita sekarang mengetahui bahwa bilangan yang sebenarnya dipegang oleh komputer itu,

bukanlah bilangan yang tidak harus sama dengan bilangan yang kita inginkan,

Apabila deltanya sama dengan 0, memang persis sama mereka.

Tapi kalau deltanya lebih besar dari 0 atau tidak 0,

maka dia akan memberikan relatif error antara bilangan yang disimpan komputer dengan yang kita masukkan atau yang kita inginkan.

Tapi tidak apa-apa, karena delta ini dapat kita jamin pasti lebih kecil dari mesin epsilon.

Yang tadi, untuk 64 bit kita sudah tahu, sama dengan 2,2 x 10-16.

Kalau misalnya saya ingin menghitung bagaimana dengan...

Kalau saya punya pekerjaan untuk menghitung X kuadrat.

Jadi saya masukkan X, kemudian saya tanya berapakah X kuadrat.

itu kan sama dengan X kali 1 ditambah delta kuadrat.

Berarti ini akan sama dengan X kuadrat 1 ditambah 2 delta ditambah delta kuadrat.

Nah, tentu saja delta kuadrat akan sangat kecil,

karena deltanya sendiri lebih kecil dari mesin epsilon.

Jadi delta kuadrat saya bisa ignore atau bisa kesampingkan.

Berarti antara X kuadrat dengan X topi kuadrat,

itu relatif error-nya menjadi 2 kalinya dari yang semula tadi.

Pada saat masuk X dengan X topi yang dipegang oleh komputer,

Sekarang antara hasil komputasi X kuadrat dengan X kuadrat yang seharusnya,

Nah, ini yang kita sebut dengan propagasi error.

Bahwa error itu bisa saja akan makin tinggi atau makin besar,

dan menjadi tidak terkendali apabila kita melakukan komputasi yang berkepanjangan.

misalnya kalau saya menghitung X pangkat N,

maka kira-kira relatif error-nya adalah N kalinya.

Jadi dengan binomial kita bisa tunjukkan,

bagaimana sebetulnya mengendalikan ataupun

dan apakah mungkin terjadi amplifikasi error yang sangat besar

antara apa yang kita masukkan sebagai input

Nah, untuk itu kita akan coba lakukan abstraksi.

penjelasan yang akan saya jelaskan berikut ini

karena ini merupakan pendekatan abstraksi dari komputasi saya.

Apapun nanti, pokoknya ada suatu proses komputasi

atau secara abstrak saya nyatakan sebagai f .