Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas algoritma substitusi maju dalam konteks sistem persamaan linear dengan matriks segitiga bawah non-singular sebagai input utama. Algoritma ini mencari solusi X dengan melakukan perhitungan berulang berdasarkan rumus yang telah ditentukan. Dalam implementasi menggunakan MATLAB atau Octave, proses akumulasi dapat disederhanakan menjadi satu instruksi, menghemat waktu dan usaha. Dengan memanfaatkan fitur-fitur tersebut, algoritma substitusi maju dapat dieksekusi lebih efisien dan singkat.

Algoritma substitusi maju, jadi secara forward, kenapa kita sebut demikian, karena kita menemukan X1, X2, dan seterusnya.

Input, jadi untuk algoritma ini inputnya adalah 2, yaitu L harus matriks segitiga bawah yang non-singular,

Kemudian saya harus punya juga ruas kanan B, jadi faktor ruas kanan.

Ini sebagai input untuk algoritma kita, sedangkan luarannya atau outputnya untuk sementara kita keluarkan saja X yaitu solusi.

Sehingga L dikalikan X itu akan sama dengan B, ini yang akan kita lakukan.

Jadi pertama kita akan hitung X1 itu akan sama dengan B1 dibagi dengan L1,1.

Selanjutnya kita akan menggunakan loop for, for i dari 2, karena yang 1 sudah saya temukan,

sampai dengan n dan notasi dalam pseudocode-nya kita akan gunakan for i 2.2n, artinya kita akan eksekusi ini dari indeks i sama dengan 2 sampai n.

Pertama kita harus mengakumulasi terlebih dahulu perkalian antara X yang sudah kita temukan dengan coeffisien ataupun dengan elemen-elemen dari L,

seperti yang tadi sudah kita tuliskan sebelumnya.

Jadi ingat tadi kita mendapati bahwa X yang ke i,

jadi kita tuliskan dulu di sini X yang ke i itu rumusnya itu akan sama dengan B yang ke i,

tadi ada sigma di sini, sigma ini saya akan tuliskan sebagai S yang harus saya hitung terlebih dahulu, dibagi dengan L, i, i.

Di sini saya membutuhkan perhitungan S, jadi untuk menghitung S biasa kita menggunakan akumulasi,

jadi S sama dengan 0, kemudian kita bikin loop sekarang for k, k tadi dari 1 sampai dengan n-1,

tempatnya saya butuhkan lebih luas, jadi for k dari 1 sampai n-1 S sama dengan S ditambah dengan L, i,

karena baris ke i yang saya kerjakan sekarang, i, k, L, i, k dikalikan dengan X yang ke k.

Ini saya akumulasikan dan ini selesai dapat S, sehingga setelah ini selesai kita akan mendapatkan X yang ke i sama dengan B yang ke i dikurang S dibagi dengan L, i, i.

Inilah algoritma kita, tafsidokot kita untuk menemukan solusi dari sistem persamaan linear apabila matriks kita berupa matriks segitiga bawah.

Nah, namun dengan memanfaatkan fitur dari MATLAB atau Octave yang sebentar lagi kita akan tunjukkan dan kita akan menggunakan Octave sebagai platform ataupun wahana untuk kita mengimplementasikan algoritma ini,

maka akumulasi ini itu tidak perlu kita lakukan melalui akumulatif S dalam for loop seperti ini.

Jadi, dengan MATLAB ini bisa kita jadikan dalam satu instruksi saja, ini yang memudahkan dengan Octave atau MATLAB ini cukup satu instruksi.

Perhatikan bahwa yang S, jadi S itu kan sebetulnya perkalian dari faktor baris Li1 kemudian di sini adalah Li2 sampai dengan Li1, ini adalah indeksnya.

Saya kalikan dengan X1, X2 sampai dengan Xi-1, jadi ini adalah inner product biasa dimana satu baris faktor dikalikan dengan satu kolom dan inilah yang akan menjadi S atau akumulasi dari sigma yang tadi kita tuliskan.

Jadi, kalau Anda lihat dituliskan dalam bentuk, apabila ini saya kalikan kan saya akan dapatkan sigma LiK kalikan dengan XK dimana K sama dengan 1 sampai I-1.

Ini sama saja hasilnya, jadi ini adalah representasi perkalian inner product dari baris kali kolom yang ini adalah sigma yang kita mudah pahami dalam bentuk representasi skalar biasa.

Akibatnya apa? Akibat dari ini maka implementasi algoritma dalam Octave untuk substitusi maju ini bisa menjadi lebih pendek.

Ada beberapa fitur MATLAB yang sebentar lagi saya akan jelaskan di lingkungan atau menggunakan platform Octave.