Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas tentang sistem persamaan non-linear dan penyelesaiannya dengan metode Newton. Metode Newton merupakan metode terbaik dalam kecepatan dan konvergensi, serta biaya, dengan menggunakan turunan pertama fungsi yang disebut matrix Jacobian. Dalam mencari solusi sistem persamaan non-linear, kita memanfaatkan vektor X dan fungsi vektor F, yang masing-masing dapat direpresentasikan dalam vektor dan matriks Jacobian. Untuk menghindari perhitungan invers matriks, kita dapat mencari solusi dengan menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan vektor dn. Dengan demikian, metode Newton dapat dieksekusi secara iteratif dengan menggunakan Jacobian matrix untuk memperbarui nilai x dari setiap tahap ke tahap berikutnya. Metode ini memungkinkan penyelesaian sistem persamaan non-linear tanpa perlu menghitung Jacobian secara analitik.

Metode Newton merupakan metode yang bisa dikatakan terbaik dari sisi kecepatan ataupun konvergensi

dan juga dari sisi cost atau biaya dalam hal ini yang biasanya kita hitung sebagai jumlah kali

ataupun berapa kali fungsi F atau fungsi non-linear tersebut dipanggil.

Nah, variasi dari metode Newton ini sebetulnya bisa juga kita kembangkan antara lain

apa yang dikenal dengan metode second yang sebetulnya akan mendowngrade ataupun menurunkan kinerjanya

karena kita mendekati turunan tersebut dengan atau garis singgung yang seharusnya kita gunakan untuk mencari titik berikutnya

So, kita akan stick pada metode Newton saja untuk penyelesaian suatu persamaan non-linear

dan metode Newton ini juga yang nanti akan kita manfaatkan untuk mencari solusi dari sistem persamaan non-linear.

Nah, sekarang kita akan mencoba menyelesaikan sistem persamaan non-linear.

Nah, secara umum sebuah sistem persamaan non-linear itu dapat kita tuliskan sebagai mencari X

sedemikian sehingga F X sama dengan 0 di mana F itu adalah fungsi vektor.

Jadi, dia merupakan fungsi vektor katakanlah berdimensi n demikian halnya juga X adalah suatu vektor dari ruang yang berdimensi n.

Nah, sebagai contoh kita mungkin punya dua variable dengan dua fungsi katakanlah X kawadrat Y minus sin X Y tambah 1 misalnya sama dengan 0.

Jadi, ini persamaan pertama sedangkan persamaan keduanya misalnya kita ambil X Y pangkat 3 minus 3 Y kawadrat plus 2 X Y minus 1 sama dengan 0.

Jadi, kita punya dua persamaan dalam hal ini dengan dua variable.

Nah, jadi secara keseluruhan X dan Y itu akan kita simpan dalam vektor X ini sedangkan fungsi vektor yang pertamanya adalah ini yang atas

yaitu katakanlah ini adalah F 1 X kawadrat Y minus sin X Y tambah 1 yang sama dengan 0 nanti.

Kemudian ini adalah F 2 atau komponen kedua dari vektor F nya yaitu X Y pangkat 3 dikurang 3 Y kawadrat tambah 2 X Y minus 1 dan keduanya akan sama dengan 0.

Jadi, 0 dalam hal ini pada representasi ini sebetulnya merupakan vektor 0.

Oke, nah sekarang bagaimana caranya kita mencari X dan Y yang memenuhi ini atau mencari vektor X yang memenuhi F X sama dengan 0 secara umum.

Untuk itu kita akan recall kembali kalkulus multivariate atau kalkulus multivariable karena kita akan menggunakan metode Newton.

Jadi, analogi yang akan kita gunakan adalah metode Newton kemarin.

Jadi, dari metode Newton yaitu X yang ke N plus 1 atau X berikutnya itu akan sama dengan X sebelumnya dikurangi dengan F X N dibagi dengan F aksen X N.

Dimana F aksen adalah turunan pertama dari fungsi F ini adalah dalam kasus skalar.

Jadi, apabila kita hanya punya 1 variable X dan fungsinya cuma 1 dimensi yaitu F.

Fungsi F yang dari yang domainnya adalah bilangan real dan dipetakan kebilangan real.

Jadi, dia adalah skalar function atau fungsi skalar.

Nah, perhatikan disini ada kehadiran F aksen yang kita punya padanannya untuk fungsi vektor.

Jadi, apabila saya memiliki fungsi vektor seperti ini atau seperti ini pada umumnya,

maka turunan pertama dari fungsi F besar ini adalah berupa matrix yang kita kenal dengan matrix Jacobian.

Jadi, kita akan memanfaatkan matrix Jacobian sebagai pengganti dari F aksen ini.

Jadi, secara keseluruhan kita akan copy saja ini untuk mendapatkan metode Newton,

tapi kita akan menggantikan F aksen ini dengan matrix Jacobian.

Namun sebelumnya saya ingatkan kembali bahwa untuk suatu fungsi F besar X sama dengan 0 seperti ini,

itu fungsi vektor yang variabelnya vektor,

maka turunan pertama atau Jacobian dari X adalah matrix berukuran n kali n.

Jadi, katakanlah tadi kan F-nya adalah dalam ruang vektor Rn, X-nya juga,

sehingga turunan pertamanya atau Jacobiannya adalah matrix yang berukuran n kali n

dengan entry atau dengan elemen ke I, J-nya.

Jadi, kalau saya definisikan Jacobiannya sebagai matrix J,

maka J I, J, jadi elemen pada baris ke I, kolom ke J dari matrix Jacobiannya,

itu adalah turunan parsial dari F yang ke I atau komponen ke I dari vektor F,

Jadi, kita mengambil parsial derivative atau turunan parsial pada fungsi yang ke I,

jadi kalau fungsinya ada dua tadi seperti contoh sebelumnya,

maka ini turunan fungsi yang di atas, yang pertama tadi terhadap variabel pertama,

kebetulan tadi kita punya dua variabel X dan Y, jadi kita turunkan terhadap X,

kemudian J 12-nya kita turunkan terhadap Y pada fungsi yang pertama.

Ini kita akan ambil contoh lagi, jadi saya akan saling kembali

untuk memberikan ilustrasi pada pencarian matrix Jacobian.

Jadi, mungkin ada yang lupa mencari turunan parsial,

basically kita mencari turunan parsial tersebut adalah dengan

mengasumsikan ataupun membiarkan variabel selain yang sedang kita turunkan sebagai konstanta.

Jadi, kalau misalnya contoh, saya bikin lagi contoh fungsi yang baru,

katakanlah Fnya ada dua, jadi F1 ini adalah X1 kwadrat kali X2 minus 3 X1 X2 kwadrat plus 2 sama dengan 0 misalnya.

Kemudian yang keduanya, kita hanya punya dua variabel yaitu X1 minus X2,

katakanlah dikurangi pangkat X1 kali X2 minus 2 sama dengan 0.

Jadi, saya punya dua fungsi yaitu F1-nya ini, F2-nya ini dan F1 dan F2 inilah yang akan menyusun fungsi F kita tadi.

Nah, sekarang karena ini hanya dua variabel, maka matrix Jacobiannya pasti hanya berukuran 2 kali 2.

Jadi, saya cukup mencari J11, turunkan F1 terhadap variabel pertama yaitu X1.

Jadi, saya akan dapat 2 X1 X2 kemudian dikurang 3 X2 kwadrat.

Nah, sedangkan yang disebut dengan J12 itu adalah turunan dari fungsi pertama hadap variabel kedua.

Jadi, ini akan dapat X1 kwadrat dikurangi dengan 6 X1 X2.

J21 itu adalah turunan sekarang, turunan parsial dari fungsi kedua yaitu F2 terhadap variabel pertama yaitu X1.

Jadi, saya dapat sin X2 dikurangi dengan ini saya turunkan terhadap X1 saya dapatkan X2 kali E pangkat X1 X2.

Dan terakhir yaitu J22 saya turunkan F2 terhadap variabel kedua yaitu X2.

Ini saya dapatkan X1 kali cosin X2 dikurangi dengan X1 kali E pangkat X1 X2.

Ini saya sudah dapatkan 4 elemen dari matrix Jacobian J.

Nah, perhatikan bahwa untuk mendapatkan n kwadrat entry, jadi jika matrix J kita ini berdimensi n kali n,

maka akan terdapat n kwadrat elemen di dalamnya, jadi yang ini karena 2 maka cuma 4 ya, yaitu 2 kali 2.

Jadi, bayangkan kalau kita punya n variabel maka akan dibutuhkan n kwadrat elemen yang harus kita hitung satu persatu,

sehingga cara untuk menghitung J secara manual atau secara analitik seperti ini pasti tidak praktis.

Jadi, kita akan menghindari untuk mencari J dengan cara yang demikian.

Nah, saya akan jelaskan sebentar lagi bagaimana menghindari perhitungan J secara analitik,

namun saya harus kembali dulu kepada Newton algoritme atau metode Newton yang tadi sudah kita sempat singgung sebelumnya.

Perhatikan bahwa metode Newton tadi kalau saya tulis kembali yang untuk persamaan yang skalar,

yaitu x yang ke n plus 1 sama dengan x yang ke n dikurang f xn dibagi dengan f aksen xn.

Nah, sekarang kita copy ini untuk kasus yang sistem atau vektor.

Ini pasti akan saya dapatkan x, sekarang xnya x vektor gitu ya.

Ini adalah f besar karena f sekarang berupa vektor.

Nah, sekarang andaikan sementara saya boleh membagi dengan matriks,

walaupun sebetulnya kita akan punya terminologi lain.

Jadi, kita sebetulnya tidak pernah membagi dengan matriks karena matriks itu bukanlah suatu skalar.

Tapi analogi dari pembagian dengan matriks ini,

jadi membagi dengan matriks itu sama saja dengan mengalihkan dengan inversenya.

Jadi, ini kalau saya tulis ulang akan sama dengan x yang ke n dikurang j inverse,

Jadi, ini sebetulnya yang disebut dengan metode Newton untuk sistem persamaan non-linear.

Nah, sekarang masih ada satu masalah bahwa kalau saya menggunakan cara seperti ini,

maka saya harus mencari inverse matriksnya terlebih dahulu.

Pada saat kita berbicara tentang sistem persamaan non-linear,

sebetulnya mencari inverse itu jauh lebih mahal daripada mencari solusi sistem persamaan linear.

Jadi, sebaiknya kita hindari pencarian inverse dari suatu matriks unless kecuali memang yang dibutuhkan adalah inversenya.

Yang saya butuhkan dalam hal ini adalah j inverse kali f kok, bukan j inverse nya sendiri.

Nah, sekarang kita cari cara, ada enggak cara agar saya tanpa menghitung j inverse,