Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas sistem persamaan linier bujur-sangkar dengan matriks koefisien berukuran n kali n. Untuk memiliki solusi, syarat perlu dan cukupnya adalah matriks koefisien harus non-singular. Meskipun tidak mencari inverse, solusi X dapat ditemukan dengan perkalian matriks. Uniknya, solusi tunggal dapat diperoleh karena matriks non-singular memiliki inverse tunggal. Ketunggalan solusi dapat dibuktikan dengan sifat-sifat aljabar linear, menunjukkan bahwa hanya ada satu solusi untuk sistem persamaan linear jika matriks koefisiennya non-singular. Prospek berikutnya akan membahas cara menemukan solusi X untuk sistem persamaan linear.

Kita akan memfokuskan persoalan dan perhatian kita pada sistem persamaan linier bujur-sangkar

dimana matrik coefficient ini berupa matrik bujur-sangkar yang kita asumsikan berukuran n kali n,

artinya banyaknya barisnya n, banyaknya kolomnya n, sehingga jumlah variable yang terkait dalam sistem persamaan linier ini adalah sejumlah n.

Dari teori aljabah linier kita tahu bahwa agar sistem persamaan linier bujur-sangkar A, X sama dengan B itu memiliki solusi,

syarat perlu dan cukupnya adalah, syarat perlu dan cukup itu adalah bahwa A itu non-singular.

Kadang-kadang kita kenal juga istilah A invertible atau punya inverse yang ditandai juga dengan determinan A itu tidak nol gitu ya,

dan beberapa karakteristik lainnya atau property lain dari aljabah linier misalnya bahwa kolom-kolom dari A itu saling bebas linier

atau baris-baris dari A saling bebas linier, tapi secara umum kita akan katakan bahwa A non-singular,

sehingga A itu punya inverse dan meskipun kita tidak akan mencari inverse dalam solusi ini,

tapi itu menandakan bahwa A X yang memenuhi A X sama dengan B itu pasti bisa dapat kita temukan.

Tentu saja karena A punya inverse, maka saya bisa kalikan kedua ruas dengan A inverse dari sebelah kiri,

karena A non-singular, A punya inverse, jadi artinya apa?

Kalau saya karikan dengan A inverse dari sebelah kiri, kita akan dapatkan A inverse kali A itu identitas,

sehingga tinggal A ini akan sama dengan A inverse kali B, ini adalah solusinya sebetulnya.

Eksistensi dari solusi, ini dapat kita tunjukkan seperti ini, karena A punya inverse,

maka A inversenya ada dan kita tahu bahwa matrik yang non-singular itu punya inverse tunggal,

jadi unique inverse sehingga ini juga akan didapati solusi yang tunggal.

Namun demikian, tolong kita perhatikan di sini bahwa kita tidak akan mencari inverse untuk mencari solusi X,

karena apa? Karena mencari inverse itu akan terlalu mahal dan kita tidak membutuhkan inverse,

jadi yang kita butuhkan adalah X yang memenuhi A X sama dengan B, jadi ini adalah pendekatan yang akan kita gunakan.

Nah, terkait dengan uniqueness atau ketunggalan dari solusi, itu juga dapat kita buktikan secara singkat

atau secara sederhana bahwa, dan menggunakan sifat-sifat dari teori aljabar linear, jadi misal,

katakanlah ada dua, X1 dan X2 adalah solusi dari A X sama dengan B.

Artinya apa? Artinya A X1 harus sama dengan B dan A X2 juga harus sama dengan B.

Kalau ini saya kurangkan berarti A kali X1 dikurang X2 itu akan sama dengan 0.

Nah, kita tahu juga dari teori aljabar linear bahwa apabila A adalah matrik yang non-singulair

dikalikan dengan suatu faktor bernilai 0, ini disebut dengan sistem persamaan homogene.

Untuk A yang non-singulair, sistem persamaan homogene hanya punya satu solusi, yaitu 0.

Jadi satu-satunya solusi dari sistem persamaan homogene, apabila matrik A yang non-singulair adalah 0 itu sendiri.

Jadi karena A non-singulair, maka X1 dikurang X2 itu harus sama dengan 0.

Artinya apa? Yaitu X1 harus sama dengan X2.

Nah, ini dalam matematik biasanya kita bisa membuktikan bahwa ketunggalan dari solusi dengan cara mengandalkan ada dua,

ternyata keduanya sama, artinya hanya ada satu solusi saja untuk sistem persamaan linear apabila matrik koefisiennya non-singulair.

Nah, selanjutnya pada proses berikutnya atau pada topik berikutnya kita akan cari bagaimana cara menemukan X yang memenuhi AX sama dengan B ini.