Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas penyelesaian sistem persamaan linear khusus dengan matriks koefisien berupa matriks segitiga bawah. Matriks segitiga bawah didefinisikan sebagai matriks dengan elemen di atas diagonalnya adalah 0. Dengan menggunakan algoritma maju atau forward substitution, solusi dari sistem persamaan ini dapat ditemukan secara sekuensial, dimulai dari x1 hingga xn. Asumsi bahwa matriks koefisien non-singular memastikan bahwa seluruh elemen diagonal matriks tersebut tidak nol, sehingga perhitungan solusi sistem persamaan dapat dilakukan dengan aman.

Selanjutnya kita akan mengasumsikan bahwa sistem persamaan linier yang kita ingin selesaikan itu memiliki matrik coefficient yang non-singular sehingga pasti ada solusi.

Nah selanjutnya kita akan coba konstruksikan alur pikir metode penyelesaian sistem persamaan linier ini secara umum nantinya.

Untuk itu kita akan mulai dengan menemukan solusi untuk persamaan yang sederhana.

Nah tentu saja banyak sekali persamaan yang sederhana tapi kita akan kaitkan dengan teknik yang nanti akan kita kembangkan

yaitu untuk kasus di mana matrik coefficient kita berupa matrik segitiga.

Kita definisikan terlebih dahulu, jadi L katakanlah disebut matrik segitiga bawah

jika elemen-elemen yang ke i, j dari L itu sama dengan 0 jika i lebih kecil dari j.

Nah bentuk dari matrik segitiga bawah adalah sebagai berikut kalau digambarkan disini ada L11 disini akan 0 sampai kesini 0.

Disini ada L21 disini ada L22 dan kesini 0 semua disini akan ada Ln1 ingat tadi kita punya matrik berukuran n kali n berarti jumlah barisnya n,

jumlah kolomnya n berarti disini akan ada Lnn.

Ini adalah matrik yang kita sebut dengan matrik segitiga bawah, kenapa kita katakan segitiga bawah?

Karena elemen-elemen yang di atas diagonal itu semuanya 0 sehingga kalau digambarkan bentuknya itu adalah seperti ini.

Jadi dia merupakan segitiga yang elemen tidak 0 nya itu ada berada di bagian bawah diagonal.

Misalkan sekarang kita memiliki sistem persamaan linier Lx sama dengan b dengan nL adalah matrik segitiga bawah yang seperti ini bentuknya.

Sebetulnya apabila sistem persamaan linier ini saya tuliskan bukan dalam representasi matrik maka artinya saya akan memiliki L11 kali x1 itu akan sama dengan b1.

L21 kali x1 ditambah L22 kali x2 itu sama dengan b2 dan seterusnya sampai yang terakhir adalah Ln1 x1 ditambah Ln2 x2 ditambah Lnn xn itu akan sama dengan bn.

Jadi ini adalah representasi non matriknya secara atomik persamaan demi persamaan sedangkan ini adalah representasi matrik.

Mudah untuk kita lihat dari representasi non matrik ini bahwa x1 langsung saya bisa temukan karena persamaan pertama hanya membuat x1 saja tidak ada variable lain.

Jadi saya akan temukan, oh kalau demikian x1 sama dengan b1 dibagi dengan L11.

Seterusnya karena x1 sudah saya temukan saya bisa mencari x2 dari persamaan kedua.

Perhatikan bahwa L22 kali x2 ini akan sama dengan b2 dikurang L21 kali x1 sehingga dari persamaan yang kedua saya dapatkan x2 itu akan sama dengan b2 dikurangi dengan L21 kali x1 dimana x1 sudah saya temukan sebelumnya ini dibagi dengan L22.

Dan selanjutnya dari x2 dan x1 sudah ditemukan saya bisa ketemukan x3 sehingga secara keseluruhan sampai dengan xn itu pasti saya dapat temukan dengan rumus bn dikurang sigma kari Lnk dikalikan dengan xk.

Dimana knya akan berjalan dari 1 sampai dengan n-1 dibagi dengan Lnn.

Jadi kita dapat menemukan seluruh x yang memenuhi Lx sama dengan b dengan cara menggunakan rumus ataupun algoritma seperti ini.

Pertama kita temukan x1 nya, kedua x2 dan selanjutnya sampai kepada xn.

Nah perhatikan juga bahwa asumsi tadi bahwa matrik coefficient L itu non-singulate itu akan menjamin bahwa seluruh elemen diagonal L ini tidak ada yang nol.

Karena kalau ada yang nol berarti dia singulate tidak punya inverse.

Seluruh rumus yang kita tulis di sebelah kanan ini pasti bisa kita hitung karena pembaginya semuanya tidak nol.

Jadi ini aman artinya secara algoritmik eksekusi ataupun perhitungan dari masing-masing xi itu pasti dapat dilakukan.

Nah selanjutnya cara menemukan solusi yang dimulai dengan x1 selanjutnya x2 secara sekuensial seperti ini

akan kita kenal atau kita sebut sebagai algoritma maju atau seringkali disebut dengan forward substitution algorithm

atau algoritma substitusi maju dimana kita menemukan x1 dulu setelah 2x2 sampai dengan xn.