Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas tentang interpolasi polynomial sepotong-sepotong, khususnya metode spline piecewise interpolation. Spline merupakan teknik interpolasi yang menggunakan potongan-potongan polinomial untuk meningkatkan akurasi. Dengan menggunakan cubic splines, polinomial order 3, interpolasi dapat dilakukan dengan tingkat smoothness yang lebih baik. Untuk menyelesaikan cubic splines, diperlukan informasi titik interpolasi, kontinuitas pada ujung-ujung potongan, kontinuitas turunan pertama, dan kontinuitas turunan kedua. Natural spline sering digunakan sebagai syarat ujung untuk menyelesaikan interpolasi dengan parameter yang sesuai dengan informasi yang tersedia.

Sebagaimana telah kita bahas pada bagian sebelumnya, bahwa

salah satu pendekatan untuk meningkatkan akurasi dalam interpolasi polinomial adalah

menggunakan polinomial atau interpolasi polinomial sepotong-sepotong atau piecewise interpolation.

dan kasus khusus yang banyak digunakan apa yang dikenal dengan splines,

ini adalah salah satu teknik atau metode untuk melakukan interpolasi sepotong-sepotong.

Idenya adalah sebagai berikut, misalnya saya ingin menginterpolasi pada suatu selang dari A sampai B,

di sini kita punya beberapa titik atau sampel.

Nah, selanjutnya apa yang akan saya lakukan adalah

titik-titik sampel yang saya punya, itu akan tetap saya gunakan

tapi saya tidak akan mengkonstruksikan sebuah single polinomial

tapi saya akan mengkonstruksikan beberapa potongan polinomial.

Misalnya seperti ini, jadi ini adalah satu potongan, jadi kalau A ini saya namakan X0,

kemudian B ini adalah Xn, maka potongan pertama ini saya namakan S0X.

S0X itu apa? Nanti akan kita lihat sebuah polinomial order rendah.

Nah, di sebelah kanannya ini saya namakan S1X dan terakhir tentu saja saya akan dapat Sn-1X.

Jadi akan ada n potong atau n potongan polinomial,

di mana masing-masing potongan ini akan berupa polinomial order rendah.

Nah, tentu saja yang paling gampang untuk kita lakukan adalah dengan mengambil S ini sebuah garis lurus.

Jadi kalau saya ambil S itu garis lurus, maka saya akan dapatkan bentuk yang seperti ini.

Dan mudah sekali untuk mencari persamaan dari garis lurus,

karena saya tahu titik yang dilalui, jadi persamaan garis lurus itu akan dapat dipastikan

untuk dicari apabila ada dua titik yang dilewatinya.

Nah, kita tahu bahwa dia harus melewati kedua ujung titik tersebut,

Nah, namun kita tidak happy atau tidak puas dengan hasilnya,

karena ini sangat kasar, patah-patah gitu ya.

Padahal dalam konteks interpolasi ini mungkin apa yang kita inginkan adalah

hasil interpolasi itu sedekat mungkin meniru atau mewarisi sifat dari fungsi yang ingin kita interpolasi

yang mestinya smooth atau cukup mulus dari tampilan gambarnya.

Nah, selanjutnya tentu saja karena order 1 dia patah-patah, mungkin kita akan berpikir bagaimana kalau order 2.

Nah, kalau order 2 berarti saya akan mengkonstruksikan sebuah polynomial order 2 atau parabolik dari dua titik,

Nah, satu informasi tersebut mungkin bisa kita langsung tambahkan,

yaitu dia harus memenuhi sifat kontinuitas pada turunan pertama.

Kontinuitas pada turunan pertama itu menandakan juga ada tingkat smoothness yang lebih baik.

Tadi waktu kita gambar garis patah-patah ini kan turunan pertamanya discontinue nih,

karena yang sini positif, yang sini negatif gitu kan.

Tapi pada saat saya konstruksikan order 2 parabolik,

mungkin saya bisa paksa bagaimana caranya agar di titik temu di interior ini,

pertemuan ini turunan pertamanya sama baik dari kiri maupun dari kanan.

Misalnya kita ambil flat gitu, turunan pertamanya 0 karena dia naik kemudian turun gitu ya, dan seterusnya.

Tidak selalu harus begitu, kalau kita lihat di titik ini dia naik dan naik lagi.

Tapi kecepatan atau kemiringannya kita paksakan atau kita usahakan,

dia sama supaya turunan pertama itu sama.

So, ada kebutuhan untuk menambahkan informasi tambahan yaitu kontinuitas pada turunan pertama.

Pada kenyataannya dari sisi komputasi tidak terlalu berbeda cost antara parabolik

dengan kalau kita naikkan ke order 3 atau kubik.

Namun dari sisi sifat atau bentuk dari fungsinya,

misalnya kalau dia berupa polinomial order 3 atau kubik,

maka tingkat smoothness atau tingkat kemulusan dari fungsinya pasti akan jauh lebih baik.

Jadi kita langsung saja sekarang mengkonstruksikan apa yang kita sebut dengan cubic splines.

Oke, sekarang kita ingin rumuskan dulu apakah bisa.

Saya menemukan ataupun mencari n buah polinomial order 3

dengan data atau informasi yang saya miliki.

Ingat tadi data yang saya miliki adalah titik interpolasinya,

Jadi ada n plus 1 titik yang saya miliki.

Sekarang kalau saya lihat sifat dari polinomial order 3,

Karena degree of freedom atau derajat kebebasan sebuah polinomial order n itu adalah n plus 1.

Kalau Anda tuliskan secara pakai basis standar,

misalnya bentuk P 3 itu akan berupa A ditambah B X ditambah C X kuadrat ditambah D X pangkat 3.

Kira-kira ini bentuk standar dari polinomial order 3.

Jadi yang kita tidak tahu artinya yang akan menjadi parameter bebasnya adalah A, B, C, D.

Artinya apa? Bahwa kalau saya punya n potong,

Dia harus S0 berada di sini dan seterusnya.

Yang kedua, saya bisa paksa polinomial Si saya harus continue.

Dan Si plus 1 itu continue di titik Si plus 1.

Jadi kalau saya lihat Si tadi terdefinisi pada Si sampai Si plus 1.

Jadi Si plus 1 akan terdefinisi dari Si plus 1 sampai Si plus 2.

Di titik Si plus 1 mereka harus continue.

Karena totalnya n plus 1 dan ujung-ujungnya ada 2 berarti hanya n minus 1.

Jadi jumlah informasi yang akan saya peroleh kalau memaksakan adanya kontinuitas dari spline saya.

Nah yang ketiga, saya akan mensyaratkan juga ada kontinuitas dari turunan pertama.

Jadi Si aksen itu harus sama dengan Si plus 1 aksen di titik Si plus 1.

Ini juga ada n minus 1 yang di tengah, yang di dalam bukan yang di ujung.

Karena yang di ujung dia tidak ada kontinuitas ke kanan lagi.

Jadi yang punya syarat atau disyaratkan adanya kesinambungan atau kontinuitas itu hanya yang di titik-titik di dalam.