Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas tentang transformasi Gauss pada Sistem Persamaan Linear (SPL) umum dengan menggunakan metode eliminasi baris elementer untuk mentransformasikan matriks A menjadi matriks segitiga atas U. Proses ini dilakukan dengan mengenalkan nol pada elemen di bawah diagonal matriks A. Melalui eliminasi kolom demi kolom, matriks A yang semula penuh akan berubah menjadi matriks segitiga atas. Langkah-langkah operasi baris elementer dilakukan untuk mengenalkan koefisien yang diperlukan untuk mengeliminasi elemen-elemen yang tidak diinginkan. Dengan proses ini, solusi SPL dapat ditemukan melalui algoritma substitusi mundur dengan memperhatikan rasio antara elemen yang akan diubah dengan elemen diagonal matriks.

Sekarang kita akan mencari metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang umum sifatnya.

Jadi kembali tadi kita ingatkan bahwa saya punya persoalan untuk mencari X yang memenuhi AX sama dengan B

dimana A nya adalah matrik bujur sangkar dan B nya adalah vektor dan A matrik yang non singular.

Nah sekarang dikarenakan tadi kita sudah lihat bahwa apabila matrik efisiennya berupa segitiga pasti bisa kita selesaikan.

Sehingga ide berikutnya adalah, jadi ide dasarnya adalah, bisakah kita mentransformasikan

Terserah nanti yang mana yang kita akan dapatkan, apakah segitiga bawah atau segitiga atas.

Tapi intinya adalah A akan kita bawa menjadi matrik segitiga.

Dalam hal ini karena kita akan menggunakan teknik yang disebut dengan eliminasi gaus yang didasari atas operasi baris elementer

maka kita akan bawa A menjadi U, sebuah matrik segitiga.

Dan ini menggunakan transformasi yang kita sebut sebagai transformasi gaus nanti.

Jadi A akan kita bawa menjadi matrik segitiga atas.

Nah, untuk itu saya akan ilustrasikan dengan contoh.

Misalkan, sementara kita kesampingkan dulu ruas kanan, karena ruas kanan itu sebetulnya prosesnya akan mengikuti apa yang kita lakukan pada A.

Jadi kita fokus dulu pada A, nanti B-nya akan kita tambahkan belakangan.

Kita miliki A itu sama dengan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10.

Oke, jadi ini adalah matrik A saya, matrik segitiga, 3 x 3 ukurannya dan saya jamin dia non-singulir.

Anda juga sudah melihat bahwa kenapa saya tidak pakai sembilan di sini.

Kalau di sini saya kasih sembilan dia akan singulir, karena ini dikurang ini akan sama dengan ini dikurang ini.

Berarti kolom-kolomnya akan dependen linear, tapi dengan adanya angka 10 di sini dia menjadi non-singulir kembali.

Nah, target saya adalah matrik U yang bentuknya seperti ini.

Di sini harus 0, di sini tidak 0, di sini 0, di sini juga harus 0, di sini tidak 0.

Nah, ini adalah matrik segitiga atas yang ingin saya tuju.

Ini adalah U, ini adalah A, jadi dari U ini saya harus bawa ke bentuk ini.

Nah, ini kita ingat bahwa dalam algebra linear kita mengenal adanya operasi baris elementer

yang bisa melakukan eliminasi pada elemen-elemen matrik yang berada di bawah diagonal.

Jadi seluruh elemen di bawah diagonal itu akan saya nolkan atau saya katakan atau dulu disebut dengan eliminasi.

Dulu memang kita teknik eliminasinya dalam rangka untuk mencari solusi dengan cara mengeliminasi variable-variable yang terkait.

Tapi sekarang kita lebih melihatnya sebagai mengeliminasi bilangan-bilangan atau entry dari matrik yang berada di bawah diagonal.

Oke, kita gunakan teknik yang sama, jadi langkah pertama tentu saja saya harus mengenalkan 2,

Karena operasi baris elementer yang akan saya manfaatkan,

maka saya cukup mengurangi baris yang kedua ini dengan 2 kali dari baris yang pertama.

Jadi instruksinya adalah baris kedua itu sama dengan baris kedua yang lama dikurangi dengan 2 kali baris pertama,

Sehingga kalau saya tulis baris 1 saya tidak apa-apakan,

1, 4, 7, baris keduanya ini akan jadi 0 karena 2 dikurangi 2 kali 1.

Yang ini akan menjadi 5 dikurangi 2 kali 4, oh berarti minus 3.

Yang ini adalah 8 dikurangi 14 karena 2 kali 7 14, oh ini akan menjadi minus 6.

Oke, jadi saya sudah berhasil mengenalkan posisi yang tadinya berisi 2.

Hal yang sama saya bisa lakukan, jadi yang sementara ini masih belum saya apa-apain masih 3, 6, 10.

Tapi dengan cara yang sama pada langkah kedua,

saya bisa mengenalkan 3 dengan cara mengurangi baris ketiga.

Jadi baris ketiga dikurangi dengan baris atau 3 kali baris pertama.

Ini akan kita lakukan, sehingga setelah instruksi ini saya lakukan,

maka baris pertama tetap tidak berubah, tetap 1, 4, 7.

Baris kedua sudah jadi, tadi ini sudah 0, ini minus 3, ini adalah minus 6.

Sekarang baris yang ketiga, coba perhatikan, 3 dikurangi 3 kali 1, dia benar akan 0.

6 dikurangi dengan 3 kali 4, berarti minus 6.

10 dikurangi 3 kali 7, 21, berarti minus 11.

Jadi saya sudah berhasil mengenalkan 2 elemen ini.

Nah, sebetulnya dari insight contoh ini, kita sekaligus dapat menyimpulkan bahwa

teknik yang akan saya gunakan nanti adalah melakukan eliminasi kolom demi kolom.

Jadi saya mulai dari kolom pertama dulu, saya kerjakan.

Setelah selesai kolom pertama, sekarang saya baru bekerja pada kolom berikutnya.

Kalau Anda mau melihat sebagai recursive approach ataupun pendekatan yang recursive,

pertama saya bekerja pada matrik 3 kali 3, selesai dengan kolom pertama,

artinya saya sekarang bekerja pada matrik 2 kali 2 dengan pendekatan yang sama.

Untuk mengenalkan sekarang posisi di minus 6 ini.

Nah, langkah berikutnya tentu saja untuk mengenalkan posisi minus 6,

gunakan teknik yang sama, tapi perhatikan tadi saya katakan,

saya sudah selesai dengan baris pertama dan kolom pertama,

fokus perhatian saya pada sub matrik ini, 2 kali 2 ini.

Jadi saya tidak akan pakai lagi baris pertama, saya akan pakai baris kedua.

Untuk menolkan minus 6, saya cukup mengurangi baris ketiga ini dengan 2 kali baris kedua,

itu akan sama dengan baris ketiga dikurangi dengan 2 kali baris kedua.

Sehingga saya dapatkan hasilnya adalah sebagai berikut,

yang ini sudah selesai, 0, min 3, minus 6.

Nah, yang inilah sebagai hasil yang nomor 3 ini,

karena 0 ini sudah selesai, berarti saya tidak akan mengubah apa-apa,

akibat dari dikurangi dengan 2 kali min 3.

Dan, min 11 dikurangi dengan 2 kali minus 6, itu akan menjadi 1.

Dan, kita sudah berhasil untuk menemukan matrik segitiga atas.

Jadi, dari matrik yang tadinya penuh, sekarang menjadi matrik yang segitiga atas.

Nah, apabila hal yang sama, proses eliminasi atau proses operasi baris elementer ini,

kita lakukan hal yang sama pada ruas kanan, yaitu B,

maka B-nya akan berubah juga, menjadi B yang baru.

Jadi, karena A-nya menjadi U, dengan cara yang sama nanti B-nya akan berubah,

katakanlah menjadi B tilde, sehingga sistem persamaan yang tadinya AX sama dengan B,

berubah sekarang menjadi OX sama dengan B tilde.

Dan, saya sudah bisa menemukan X, karena tadi saya sudah punya algoritma substitusi mundur,

yang pasti dapat menemukan X, yang merupakan solusi dari OX sama dengan B.

Ini yang menginspirasi kita, sekarang kita akan turunkan bagaimana caranya untuk melakukan ini

Kalau ini tadi kan pendekatannya masih menggunakan apa yang kita sebut sebagai langkah-langkah operasi baris elementer.

Nah, cuman ada beberapa hal yang akan kita jelaskan,

bagaimana saya menemukan coeffisien-coefficient ini.

Dua, disini tadi tiga, disini juga ada dua,

coeffisien-coefficient ini artinya apa, atau dapat diperoleh dari mana.

Nah, perhatikan bahwa agar ini nol, posisi ini nol,

maka pengali dari baris yang akan menjadi pengurang adalah rasio antara ini dibagi ini.

Jadi, perlu saya hitung rasio ini dulu untuk dapat mengeliminasi baris kedua.