Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas transformasi Gauss pada Sistem Persamaan Linear (SPL) umum. Algoritma eliminasi Gauss digunakan untuk mengonstruksikan solusi SPL dengan mengubah matriks A dan B secara bersamaan. Langkah-langkahnya melibatkan eliminasi elemen pada baris-baris matriks dengan menghitung rasio dan mengalikannya dengan baris lain untuk membuat elemen tertentu menjadi nol. Proses ini dilakukan secara berurutan dari kolom pertama hingga kolom kedua terakhir, membentuk matriks segitiga atas. Algoritma ini memastikan bahwa sistem persamaan linearnya tetap konsisten dan dapat diselesaikan.

Oke, jadi apabila sekarang saya punya matriks A11 sampai dengan A1n, A21 sampai dengan A2n, An1 sampai dengan An1,

dan di sini saya punya B yang sama dengan B1, B2 sampai Bn.

Oke, oleh karena Aik sama dengan B maka apapun yang saya lakukan pada A itu harus juga dilakukan pada B.

Jadi kalau tadi saya mengurangi baris kedua dengan sum coefficient atau suatu coefficient kali baris pertama,

maka B2 harus dikulangi dengan suatu coefficient kali B1 juga supaya sistem persamaan linearnya tetap sama atau ekivalen.

Oke, sekarang apa yang harus kita lakukan?

Untuk membuat, mengkonstruksikan algoritma saya asumsikan bahwa saya sudah selesai dengan K-1 kolom,

sekarang saya bekerja pada kolom ke-K katakanlah.

Ini adalah baris ke-K tentu saja dan ini yang belum selesai.

Dan ini yang akan saya nolkan sekarang, posisi ini yang saya akan nolkan.

Di sini ada duduk A, K, K dan inilah akan sebagai pembagi rasio yang ingin saya perlukan.

Nah, untuk katakanlah mengeliminasi baris ke-I, jadi ini adalah baris ke-I.

Jadi eliminasi elemen pada baris ke-I itu dilakukan dengan rumus berikut.

Pertama kita hitung rasionya dulu, misalkan M adalah rasio di posisi ini, ini kan ada A, I, K.

Jadi M itu adalah A, I, K dibagi dengan A, K, K.

Saya ketemukan M sebagai rasio dan M inilah nanti sebagai pengali untuk baris ke-K sebagai pengurang.

Nah, eliminasinya selanjutnya adalah baris ke-I yang baru sama dengan baris ke-I yang lama dikurangi M dikalikan baris ke-K.

Ini yang akan menolkan posisi ini, yang akan membuat posisi ini jadi nol adalah instruksi ini.

Yang dalam instruksi Octave atau Matlab cukup kita nyatakan sebagai Occal begitu.

A baris ke-I, ini notasi Matlabnya, sama dengan A baris ke-I dikurangi M dikalikan dengan A baris ke-K.

Dan proses ini akan saya lakukan untuk I mulai dari K plus 1 sampai dengan terakhir yaitu N.

Karena yang perlu saya nolkan itu mulai dari bawah diagonal.

Di bawah diagonal karena pada kolom ke-K berarti mulai dari K plus 1, K plus 2 sampai ke N.

Nah, ini harus saya ikuti dengan B, jadi B yang ke-I itu harus sama dengan B yang ke-I yang lama dikurangi dengan M dikalikan dengan B yang ke-K.

Supaya ruas kanannya tetap sama dengan semula, artinya maksud saya sistem persamaan linernya tidak berubah.

Karena yang kiri saya lakukan eliminasi menggunakan operasi baris elementer maka B juga harus ikut.

Nah, dua instruksi ini nantinya bisa kita lakukan secara serentak dengan cara melakukan augmentasi atau kita ketumpangkan B setelah kolom terakhir dari A.

Nah, ini di Octave atau Matlab cukup mudah untuk dilakukan.

Nah, ini kira-kira prosesnya dan ini saya harus lakukan untuk K dari 1 sampai ke N minus 1.

Karena saya akan mengenolkan pada posisi ini yang terakhir yaitu di N minus 1.

Jadi, proses ini harus saya lakukan untuk K sama dengan 1 sampai N minus 1.

Karena kolom terakhir tidak kita nolkan di posisi terakhir, ubung bentuknya adalah segitiga atas.

Jadi, matrik segitiga atas itu posisi pojok kanan bawahnya itu tidak dinolkan.

Jadi, mulai pengenolannya itu di bawah diagonal saja.

Sehingga saya harus berhenti pada kolom ke N minus 1.

Nah, dari sini sudah terbayang algoritmanya.

Sekarang kita tuliskan algoritma yang kita sebut dengan algoritma eliminasi gauss gitu ya.