Prof. Drs. T. Basaruddin, Ph.D.

Video ini membahas transformasi ortogonal dalam faktorisasi QR untuk menyelesaikan persoalan kuadrat terkecil. Transformasi ini menggunakan matriks ortogonal agar norm 2 tetap terjaga, mempertahankan panjang Euclidean. Dengan matriks ortogonal Q, persoalan dapat disederhanakan menjadi R X = B tilde untuk mencari titik minimum. Terdapat dua pendekatan untuk konstruksi matriks Q dalam menyelesaikan persoalan ini.

Oke, kita tetap akan fokus pada mencari titik x yang merupakan minimum dari x minus b dan ini norm 2.

Untuk itu, saya ingin melakukan transformasi.

agar norm 2 dari Aekselang B ini simple, sederhana.

Kita bisa meminjam ide dari transformasi Gauss yang kemarin sudah kita pelajari,

yaitu melakukan konversi dari A menjadi matrik segitiga atas.

Namun, apa yang harus menjadi catatan di sini,

kemarin saya melakukan transformasi Gauss dengan mengalikan dengan matrik Gauss.

Perhatikan bahwa artinya saya harus mengalikan matrik pada norm ini

yang pekalian tersebut bisa saja mengubah nilai dari norm tersebut.

Sehingga, yang harus saya jamin sekarang, adakah transformasi yang tidak mengubah norm 2,

artinya preserve length atau panjang Euclidean-nya atau norm 2-nya tidak berubah.

Untuk itu, kita butuhkan transformasi yang mempertahankan norm 2.

Jadi, diperlukan transformasi yang mempertahankan atau tidak mengubah norm 2.

Ini terjadi pada matrik ortogonal, yaitu transformasi ortogonal.

maka pertama, norm 2 dari Q sama dengan 1, yang kedua,

dan untuk sembarang X yang tidak sama dengan 0,

norm 2 dari QX itu sama saja dengan norm X.

kalau saya kalikan dengan sembarang vektor tidak 0,

maka norm-nya tidak akan berubah atau norm 2 tidak berubah.

Jadi, sekarang saya harus menjamin bahwa transformasi saya hanya akan menggunakan matrik yang memenuhi sifat ini,

Sekarang, misalkan saya sudah punya matrik ortogonal tersebut,

sekarang saya sudah temukan transformasinya harus ortogonal.

Sekarang, idenya kita bawa dengan ide yang sama dengan Gauss,

yaitu konversi dari A menjadi matrik segitiga

dengan melakukan zeroing atau pengenalan elemen-elemen yang berada di bawah diagonal.

Sekarang, misalkan Q adalah matrik ortogonal

dan memenuhi bahwa Q transpose sekali A itu sama dengan R matrik segitiga atas.

Nah, segitiga atas dalam tanda petik, karena R ini tidak berjurus angkar,

Jadi, kalau katakanlah jika A-nya itu kayak gini bentuknya,

Jadi, yang bentuk segitiga atas itu hanya di atasnya yang

artinya semua elemen yang di bawah diagonal itu harus nol termasuk yang di bawah sini.

Nah, ini yang kita sebut dengan matrik R yang akan menyederhanakan persoalan kita.

Karena kita sekarang coba lihat lagi bahwa minimum dari A X min B

Kalau saya kalikan dengan Q transpose A X dikurang Q transpose B tidak akan berubah

karena kedua sisi saya kalikan dengan Q transpose.

Yang ini saya kalikan Q transpose, yang B-nya juga saya kalikan Q transpose.

Jadi, waktu saya kalikan dengan Q terhadap ini normnya tidak berubah

menurut teorema atau pemahaman kita tentang sifat dari matrik ortogonal tadi.

Nah, tapi coba perhatikan Q transpose A itu kan sama dengan R.

Jadi, ini akan minimum dari R X dikurang.

Katakanlah Q transpose B ini saya namakan B tilde.

Yang bagian atasnya ini saya namakan R 1.

Yang bagian bawahnya ini kan nol, matrik nol.

Berarti norm duanya itu akan sama dengan minimum dari R 1 X.

Katakanlah ini B 1 yang panjangnya itu sesuai dengan dimensi dari R 1.

Nanti kita akan lihat tergantung pada kalau dia rang penuh

yang merupakan potongan dari B tilde untuk sisanya.

Jadi, kalau B tilde tadi panjangnya M, ini adalah B tilde

maka potongan pertamanya ini kita namakan B 1

Jadi, untuk sementara kita asumsikan matrik A kita rangnya penuh

Jadi, yang ini adalah panjangnya n, yang ini panjangnya M kurang n.

Coba perhatikan, saya ingin meminimumkan ini.

Yang ini tidak mungkin saya minimumkan karena tidak memuat X di sini.

sehingga dapat dipilih X yang meminimumkan.

Nom A X kurang B nom 2 adalah solusi dari R 1 X sama dengan B 1 tilde.

Karena kalau dia merupakan solusi dari R 1 X sama dengan B 1 tilde

Dan inilah titik minimumnya karena nom itu tidak mungkin negatif.

Sehingga saya bisa cari sekarang solusi X-nya dengan menyelesaikan R 1 X sama dengan B 1.

Tentu saja pada taraf ini kita belum tunjukkan Q-nya itu bagaimana cara carinya.

untuk mengkonstruksikan matrik Q tersebut.