Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang basis vektor dalam konteks aljabar vektor, di mana vektor dapat diekspansi sebagai kombinasi linier dari vektor satuan I dan J dalam ruang dua dimensi. Konsep besar vektor dan vektor satuan juga dijelaskan, di mana vektor satuan memiliki nilai satu dan membentuk basis vektor yang ortogonal. Selain itu, analisis vektor diperluas ke ruang tiga dimensi dengan penambahan vektor satuan K. Vektor-vektor satuan I, J, dan K saling tegak lurus satu sama lain, membentuk sudut 90 derajat, dan merupakan basis vektor dalam koordinat Cartesian.

Oke, sekarang mari kita tinjau kembali sembarang vektor yang saya namakan vektor A.

Dia punya arah sembarang dan besarnya juga sembarang.

Nah, vektor A ini dapat selalu kita dekomposisi terhadap ruang di mana dia berada.

Kalau misalnya vektor A ini didefinisikan di bidang atau ruang dua dimensi,

maka kita selalu bisa dekomposisi vektor A ini menjadi komponen-komponennya

Jadi, kalau misalnya saya punya sumbu X dan sumbu Y,

maka vektor A ini dia punya komponen arah sumbu X, saya namakan AX,

dan dia punya komponen arah sumbu Y, yang saya namakan AY.

Artinya secara aljabar, vektor A ini dapat saya nyatakan sebagai suatu ekspansi

Ingat, AX dan AY ini adalah dua buah besar vektor A pada arah X dan pada arah Y.

Nah, karena dia nilai skalar, maka kita perlu kalikan dengan suatu vektor

Saya akan namakan ini adalah I ditambah AY, J.

I dan J adalah apa yang kita namakan sebagai basis-basis vektor

Jadi, di sini saya punya suatu vektor, basis vektor atau vektor satuan,

saya namakan ini vektor I, dan ini vektor J.

I dan J ini juga kita kenal sebagai, apa yang kita namakan sebagai vektor satuan.

Tapi kemudian I dan J ini membentuk apa yang kita namakan sebagai basis vektor.

Sehingga sembarang vektor di ruang dua dimensi akan selalu dapat diekspansi

atau dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor satuan I dan vektor satuan J.

Nah, tadi saya mengatakan sebagai vektor satuan.

Untuk membahas mengenai vektor satuan, saya perlu membahas dulu

dari apa yang dinamakan sebagai besar vektor.

Seperti yang sudah kita pahami secara intuitif,

bahwa suatu besaran vektor itu punya yang namanya nilai atau besar,

Jadi, besar vektor A, dia punya besar nilai.

Besar vektor A itu disimbolkan dengan nilai mutlak dari vektor A.

Kita tidak membutuhkan arah untuk besaran besar vektor tersebut.

Nah, sekarang vektor satuan, misalnya I atau J,

kita beri simbol yang sedikit berbeda dengan vektor A.

Kalau vektor A ini simbolnya topinya lurus,

kalau vektor satuan itu simbolnya topinya agak lancip.

kalau kita mencari besar vektornya, itu nilainya satu.

Jadi, vektor satu adalah vektor yang sudah ternormalisasi.

Ingat, di sini saya berbicara dalam konteks koordinat Cartesian.

Koordinat Cartesian adalah koordinat yang biasa sudah kita gunakan.

Dari situ, saya juga bisa mendefinisikan vektor satuan secara umum.

Kalau ini adalah vektor satuan dari basis vektor,

maka bagaimana vektor satuan dari vektor A,

vektor satuan dari vektor A ini didefinisikan sebagai vektor A itu sendiri

Jadi, tadi kita sudah tahu bahwa nilai mutlak A inilah besar vektor A.

Kalau saya punya suatu vektor A dibagi dengan besar dari vektor A,

maka yang saya dapatkan adalah vektor satuan A.

Nah, basis vektor kita, I, J, ini nilai vektor satuannya,

kita bisa menyatakan vektor A sebagai ekspansi berikut.

Bagaimana menyatakan nilai besar vektornya?

dengan menggunakan teorema Pitagoras yang sudah sangat terkenal.

sisi miring atau hipotenusa dari suatu segitiga khayal siku-siku ini,

maka Anda bisa lihat bahwa besar vektor A

Nah, analisis ini bisa kita generalisir ke ruang tiga dimensi.