Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas contoh khusus turunan berarah pada energi potensial gravitasi di permukaan bumi. Energi potensial gravitasi diparametrisasi oleh ketinggian Z, dengan nilai potensial yang sama pada garis kontur yang sama. Turunan berarah dari energi potensial gravitasi menunjukkan gradien yang tegak lurus dengan arah perpindahan, merepresentasikan arah normal bidang ekipotensial. Gradien dari medan skalar konstan memperlihatkan arah normal bidang yang dihasilkan oleh medan skalar tersebut.

Sekarang kita akan mencoba membahas satu contoh khusus

dari konsep turunan berarah atau directional derivative

yang kita sudah bahas di pembahasan sebelumnya.

Dimana sekarang faktor perpindahannya atau faktor perubahannya, displacementnya,

ini saya ambil adalah faktor tangan dari fungsi skalar atau medan skalar yang kita tinjau.

Untuk memudahkan, saya akan meninjau suatu contoh ya,

contoh yang biasa juga kita pelajari di fisika dasar, yaitu tentang energi potensial gravitasi.

Di permukaan bumi. Jadi bayangkan kalau Anda seorang mahasiswa atau pelajar,

Anda mungkin senang mendaki gunung, kalau Anda pernah punya pengalaman mendaki gunung,

Anda tentunya biasa berada dalam situasi yang seperti ini, yang akan saya deskripsikan ini.

Jadi bayangkan di suatu gunung atau suatu bukit, ketinggiannya diparametrisasi oleh Z,

Garis-garis kontur ini mendeskripsikan titik-titik di permukaan gunung

yang punya nilai potensial yang sama atau energi potensial yang sama.

Kalau kita ingat kembali energi potensial gravitasi, saya akan simbolkan dengan V,

dari sembarang objek, itu diberikan oleh masa objek tersebut,

dikali dengan percepatan gravitasi, keduanya konstan, M-nya bergantung pada masa objek tersebut.

Ini bergantung pada ketinggian. Ketinggiannya adalah Z, jadi saya tuliskan sebagai MG Z.

Artinya, kalau Anda seseorang yang bermasa M, berada di, berdiri di lereng bukit yang di sini,

Anda akan merasakan energi potensial gravitasinya diberikan oleh masa Anda

dikalikan dengan percepatan gravitasi, dikalikan dengan ketinggian Anda dari tanah,

Kalau Anda berada di sini, tentunya Anda akan mengukur,

atau Anda akan merasakan energi potensial gravitasi yang berbeda.

Karena ketinggiannya berbeda, kalau kita ambil titik Z dari tanah, dari permukaan air laut.

Tapi kalau Anda berada di satu kontur yang sama, misalnya Anda berada di sini,

maka Anda akan memiliki energi potensial gravitasi yang sama dengan seperti Anda berada di sini.

Karena titik-titik yang dihubungkan oleh kontur ini punya nilai potensial yang sama,

karena mereka berada pada ketinggian yang sama.

Atau kalau bisa kita gambarkan, kalau kita lihat dari sudut pandang peta topografis,

atau kontur, kalau kita lihat hanya pada bidang X-Y,

saya bisa modelkan atau saya bisa deskripsikan kontur-kontur ini sebagai berikut.

Jadi ini mendeskripsikan kontur dari bukit atau gunung yang dimaksud.

Semua titik yang berada di kontur yang sama ini punya nilai potensial gravitasi yang sama,

karena mereka mendeskripsikan ketinggian yang sama.

Kalau saya punya, artinya setiap kontur ini diparametrisasi oleh V-nya sama dengan konstan,

karena Z-nya sama, di setiap kontur punya Z yang sama, jadi ini nilai konstan.

Artinya fungsinya sekarang hanya bergantung pada X dan Y, dan nilainya konstan, C katakanlah.

Jadi setiap kontur ini mendeskripsikan suatu persamaan permukaan dengan fungsi,

fungsinya bisa apapun, tapi dia harus sama dengan konstan.

Sekarang kalau saya mau menghitung DVD-nya, saya mau mencari perpindahan, jadi saya berada di sembarang titik,

misalnya disini, saya ambil contoh disini, saya mau menghitung turunan berarahnya,

maka saya menghitung DVDS-nya, dan ini sama dengan grad V didotkan dengan,

Nah, apa faktor perpindahan yang kita bicarakan disini, faktor perpindahannya disini,

berarti adalah faktor tangan dari permukaan tersebut.

Kalau permukaan diparametrisasi oleh ini, maka faktor tangannya itu kita bisa ambil arah sini,

Tapi karena V-nya adalah konstan, maka ruas kiri ini pasti 0.

Jadi saya punya relasi bahwa grad V dot DR sama dengan 0.

Nah, baik grad V maupun DR ini tidak harus 0,

karena fungsi ini kita tidak spesifikasi seperti apa,

Membuat pula elemen perpindahannya ini juga tidak 0.

kalau ada 2 buah faktor yang secara umum tidak 0, didotkan hasilnya 0,

satu-satunya kemungkinan bahwa grad V ini harus tegak lurus dengan arah tangan perpindahannya.

maka grad V-nya itu bisa mengarah keluar atau ke dalam,

Kita ambil misalnya keluar, maka inilah grad V-nya.

Atau mungkin kita ambil arah positif, jadi inilah grad V-nya masuk ke dalam.

Jadi kita lihat, pada persamaan permukaan atau kontur yang konstan,

atau secara fisika ini kita nampakkan sebagai bidang ekipotensial,

kurva di mana setiap titik pada kurva tersebut memiliki nilai potensial yang sama,

maka gradien dari persamaan kurva tersebut merepresentasikan arah normal bidangnya.

Jadi kalau ini adalah permukaannya, maka ini arah normal dari permukaannya.

Karena DR ini merepresentasikan arah tangan dari bidang ekipotensial tersebut.

geometri tambahan, bahwa gradien V ini atau gradien dari sembarang,

medan skalar yang memenuhi persamaan yang konstan,

itu adalah merepresentasikan arah normal bidang dari bidang yang didiriskan oleh medan skalar tersebut.