Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas penerapan konsep turunan vektor dalam fisika dan teknik, terutama dalam menghitung kecepatan dan percepatan. Turunan vektor posisi terhadap waktu memungkinkan kita mengidentifikasi kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat suatu benda bergerak. Kecepatan merupakan turunan vektor posisi, sedangkan percepatan merupakan turunan kedua vektor posisi terhadap waktu. Dalam contoh soal, kita dapat menghitung fungsi kecepatan dan percepatan dari ekspresi vektor posisi suatu benda sebagai fungsi waktu. Kecepatan diukur dalam meter per detik, sementara percepatan diukur dalam meter per detik kuadrat.

Oke, mungkin kita ada yang bertanya-tanya, seperti apa sih aplikasi dari konsep turunan vektor

di fisika atau di teknik misalnya ya. Sebenarnya tanpa kita sadari, kita sudah bergelut dengan turunan dari vektor

di aktivitas kita di fisika dan di teknik. Sebagai contoh, yang paling mudah saya bisa gambarkan kalau Anda ingat kembali

vektor posisi, jadi misalkan di ruang tiga dimensi dalam koordinat X, Y, dan Z, saya punya suatu partikel

yang berada di titik P. Nah, titik P ini diparametrisasi oleh label nilai X, nilai Y, nilai Z.

Jadi X-nya berapa, Y-nya berapa, Z-nya berapa. Dengan kata lain, maka titik P ini diparametrisasi oleh vektor posisi

yang saya namakan vektor posisi R dari titik pusat atau dari titik acuan, dari titik nol.

Nah sekarang, bayangkan sekarang jika partikel tersebut berevolusi terhadap waktu, atau dengan kata lain, partikel tersebut bergerak.

Dia punya kecepatan. Jadi di waktu T, posisinya tepat di titik T, seiring dengan perjalanan, oke, disini karena contohnya dari fisika,

saya akan mengidentifikasi variable bebas T ini sebagai waktu. Jadi vektor posisinya bergantung terhadap waktu.

Seiring dengan evolusi waktu T, katakanlah sekarang di T plus delta T, di waktu T plus delta T, partikel tersebut berpindah posisi.

Yang tadinya P menjadi di posisi Q. Oke. Nah sekarang berarti kita bisa bertanya berapa besar perpindahan dari vektor posisinya.

Kita bisa menghitung delta R. Kita lihat delta R ini bisa didekati, saya tidak katakan eksak, tapi delta R ini bisa didekati dengan kurva tersebut.

Kurva tersebut yang berawal dari P dan berakhir di Q itu secara aproksimasi bisa mendeskripsikan selisih dari kedua vektor posisi tersebut.

Atau bisa mendeskripsikan delta R yang adalah R pada waktu T plus delta T dikurang R pada waktu T.

Oke. Jika kita ingin mencari berapa selisih delta R ini, lalu kita bagi atau kita hitung rasionya terhadap selisih perubahan waktu delta T,

maka apa yang kita dapatkan? Kita dapatkan kecepatan rata-rata.

Kecepatan rata-rata itu bisa kita tuliskan sebagai rasio dari delta R terhadap delta T, atau ini adalah dibagi dengan delta T.

Ini adalah kecepatan rata-rata. Artinya kecepatan rata-rata itu mendeskripsikan kecepatan kurang lebih, nilai kecepatan yang dibutuhkan untuk bergerak dari P ke Q.

Tentunya dalam realitanya tidak selalu kecepatan ini konstan, sedangkan kecepatan rata-rata itu kan by definition rata-rata, artinya nilai tertentu.

Jadi, kita lebih tertarik untuk menanyakan berapa kecepatan sesaat, atau kecepatan yang instantaneous, artinya kecepatan di setiap titik dalam kurva perpindahannya dari titik P ke Q.

Jadi, kita namakan sebagai kecepatan sesaat. Dan dari kalkulus, Anda tahu bahwa menghitung kecepatan sesaat itu berarti menarik limit delta T mendekati 0 untuk definisi kecepatan rata-rata ini.

Jadi, kecepatan sesaat, yang biasa kita tulis sebagai phase saja, ini berarti adalah limit delta T mendekati 0 dari, tapi ini merupakan definisi dari turunan, turunan apa?

Dan jika kita punya vektor posisi sebagai berikut secara umum, maka kita bisa menyatakan kecepatan ini adalah dx dt arah i ditambah dy dt arah j ditambah dz dt arah k.

Dan kita bisa mengidentifikasikan bahwa komponen-komponen ini, ini adalah komponen kecepatan arah sumbu X atau VX, ini adalah komponen kecepatan arah sumbu Y atau VY, dan ini adalah komponen kecepatan arah sumbu Z atau VZ.

Jadi, kecepatan itu merupakan turunan dari vektor posisi.

Selanjutnya kita juga bisa menghitung apa itu turunan dari kecepatan, yang kita sudah tahu yaitu adalah percepatan, jadi kita bisa mendefinisikan percepatan sebagai turunan dari kecepatan.

Atau karena kecepatan itu sendiri adalah turunan pertama dari vektor posisi, maka percepatan itu dapat dinyatakan sebagai turunan kedua dari vektor posisi terhadap waktu.

Oke, sebagai penutup saya bisa mencoba membahas contoh soal yang berkaitan ya, dari kecepatan sebagai turunan terhadap vektor posisi.

Misalnya, saya punya suatu vektor posisi dari suatu pergerakan benda, jadi suatu benda bergerak di ruang tiga dimensi, yang vektor posisinya itu diberikan oleh ekspresi berikut.

Di sini saya punya t kwadrat arah i, dikurang 2t arah j, ditambah t kwadrat plus 2t arah k.

Ini mendeskripsikan persamaan gerak dari suatu benda atau suatu partikel sebagai fungsi waktu.

Berarti x-nya adalah t kwadrat, y-nya adalah minus 2t, dan z-nya adalah t kwadrat plus 2t.

Nah sekarang, apa fungsi kecepatannya? Kita dapat dengan mudah menghitung itu.

Ini berarti kita langsung cari, ini adalah d per dt dari t kwadrat, ini arah i, ini adalah d per dt dari 2t arah j, ini adalah d per dt dari t kwadrat plus 2t arah k,

atau ini adalah 2t arah i, dikurang 2 arah j, ditambah 2t plus 2, atau kita bisa keluarkan 2nya, jadi 2t plus 2 arah k.

Oke, jangan lupa, karena sekarang kita bergelut dengan besaran fisika, maka tentunya harus ada satuan di sini.

Apa satuan dari vektor posisi? Kalau kita ambil satuan internasionalnya, maka ini adalah meter.

Dan di sini, kecepatan berarti kita punya meter per detik atau meter per second.

Jadi inilah ekspresi dari komponen kecepatan si partikel sebagai fungsi waktu.

Percepatannya tinggal turunkan sekali lagi, jadi langsung saja.

Kalau kita turunkan, ini diturunkan terhadap t, kita sudah tahu, adalah 2 saja.

Nah ini adalah konsanta, maka turunan 0, dan ini hanyalah 2 saja.

Ini punya satuan meter per second kuadrat.