Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas hasil kali tripel (cross dengan dot) dalam konteks aljabar vektor. Perkalian cross vektor A dengan vektor B menghasilkan vektor yang dapat dioperasikan dengan vektor lain, seperti vektor C, melalui dot product. Hasilnya adalah skalar, dan dapat dinyatakan dalam bentuk determinan. Sifat determinan memungkinkan operasi vektor secara siklik, di mana A x B dot C sama dengan B x C dot A sama dengan C x A dot B. Operasi ini dapat direpresentasikan sebagai determinan dari matriks 3 x 3.

Seperti yang sebelumnya saya sudah sampaikan, kalau sekarang kita punya perkalian cross atau cross product,

misalnya vektor A di crosskan dengan vektor B,

kita bisa menghitung komponen dari vektor hasil perkalian ini secara determinan,

dan hasilnya adalah vektor, hasilnya adalah vektor seperti yang kita sudah bahas.

Nah, karena hasilnya vektor, maka kita bisa operasikan vektor hasil cross product ini

dengan vektor lain, vektor ketiga, baik secara dot product atau cross product lagi.

Sekarang mari kita coba membahas yang lebih sederhana yaitu kita operasikan hasil cross product

kedua vektor ini dengan vektor lain secara dot product.

Misalnya saya punya A cross B, seperti ini, kita bisa cari komponen dari vektornya itu seperti apa,

yang saya mau lakukan adalah saya mau mencari A cross B,

atau saya mau mengoperasikan A cross B didotkan dengan vektor C.

Apa yang terjadi kalau saya punya A cross B didotkan dengan vektor C?

Nah, tentunya kita bisa lihat, kalau kita buka secara eksplisit ya,

A cross B ini apa saja kemarin kita sudah punya, kita bisa dari sini,

AYBZ min AZBY arah I ditambah AZBX min AXBZ arah J ditambah

Nah ini kita dot productkan, saya tulis di bawah karena nggak muat,

dengan vektor C, ya vektor C adalah CXI ditambah CYJ ditambah CZK.

Karena operasinya dot product, maka dengan mudah kita lihat bahwa

hanya komponen basis vektor I dikalikan komponen basis vektor I saja yang survive,

ditambah komponen basis vektor J dengan komponen basis vektor J,

ditambah komponen basis vektor K dengan komponen basis vektor K.

Jadi kalau saya uraikan hasilnya, saya tulis di sini,

sini kita lihat yang I didotkan dengan I, saya punya CX seperti ini ya,

CXAYDZ dikurang AZBY lalu yang J ditambah CY

AZBX dikurang AXBZ ditambah CZ kali AXBY dikurang AYBX.

Hasilnya adalah skalar, karena the end result of dot product is a scalar.

Hasil dari dot product adalah skalar, inilah hasil skalarnya.

Kalau Anda perhatikan menariknya, kita bisa menyatakan bentuk ini itu dalam bentuk determinan.

Ingat kembali, A x B itu kan kita tuliskan sebagai determinan dari matrix 3 x 3 berikut.

Baris pertamanya adalah basis vektor IJK dan itu ketika kita operasikan akan menjadi pengali di sini, IJK.

Baris keduanya adalah komponen vektor A, baris ketiganya adalah komponen vektor B.

Kalau kita perhatikan, bagian yang ini persis sama seperti di sini,

bagian yang ini persis sama seperti di sini,

dengan pula bagian ini komponen K juga persis sama seperti di sini.

Yang beda adalah kalau di sini ada IJK sekarang adalah CX, CY, CZ.

Artinya apa? Artinya ekspresi ini A x B didotkan dengan C

Itu secara aljaber linear dapat kita tuliskan sebagai operasi determinan dari matrix 3 x 3 berikut.

Yang mudah Anda bisa tunjukkan kalau kita evaluasi determinan berikut kita akan dapatkan hasil yang persis sama.

Dan dari sifat determinan kita juga bisa melihat bahwa kalau kita pindahkan urutan dari vektornya

dan operasinya secara siklik kita akan dapatkan hasil yang sama.

kalau saya sekarang operasikan B dikroskan dengan C dan hasilnya itu didotkan dengan A,

maka itu akan menghasilkan hasil yang sama dengan A x B didotkan dengan C.

Demikian pula kalau saya pertukarkan lagi C x A didotkan dengan B, itu juga hasilnya sama.

Jadi sekarang kita punya hubungan atau bukan hubungan tapi bentuk siklik yang sama

yaitu A x B didot C sama dengan B x C didot A sama dengan C x A didot B.