Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas intuisi vektor silang, menjelaskan bahwa cross product memiliki sifat anti komutatif, berbeda dengan dot product yang komutatif. Geometrisnya, cross product menghitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh dua vektor. Konsep cross product diperlukan dalam fisika, seperti pada perhitungan moment gaya atau torka yang didefinisikan sebagai hasil cross product antara lengan rotasi dengan gaya yang bekerja. Torka menghasilkan gerak rotasi dan didefinisikan menggunakan aturan tangan kanan untuk menentukan arahnya. Dengan cross product, kita dapat memahami besaran fisika yang berbeda yang tidak dapat dijelaskan hanya dengan dot product.

Oke di video sebelumnya kita sudah membahas tentang definisi cross product

yaitu perkalian silang dan juga bagaimana mengoperasikan dua vektor yang kita cross produkkan.

Nah kalau pada kasus dot product yang lalu itu dua buah vektor yang didot produkkan itu sifatnya simetrik

atau perkaliannya sifatnya komutatif yang kata lain A.B akan sama dengan B.A.

Pada kasus cross product hal itu tidaklah terjadi karena seperti yang kita sudah tahu

cross product menghasilkan vektor sebagai hasil perkaliannya.

Dan vektor hasil cross product itu arahnya akan bergantung pada aturan tangan kanan tadi.

Jadi kita sudah lihat kalau urutan vektornya diubah maka arahnya akan saling berkebalikan.

Jadi misalnya sebagai contoh tadi kalau saya punya vektor I di crosskan dengan J ini menghasilkan arahnya K.

Sedangkan kalau saya lakukan operasi J cross I arahnya adalah minus K.

Jadi kita lihat secara umum kalau saya mengubah arah vektor mengubah urutan dari cross product dua vektor

yang terjadi saya akan mendapatkan minus dari hasil cross product vektor yang awal.

Jadi dengan kata lain A cross B itu sama dengan minus B cross A.

Sifat ini dinamakan sifat yang anti komutatif atau anti simetrik.

Jadi perkalian cross product ini sifatnya anti komutatif.

Sedangkan perkalian dot product itu sifatnya adalah komutatif.

Oke sekarang sebelum saya membahas mengenai contoh soal, contoh soal konkret

bagaimana kita menggunakan atau mengoperasikan cross product

mungkin kita bisa meninjau dulu apa sih arti geometris dari cross product.

Kalau tadi pada kasus dot product arti geometris adalah bahwa kita mengalihkan suatu vektor

besar suatu vektor dengan proyeksi vektor kedua terhadap vektor tersebut.

Kita lihat kalau saya punya vektor A dan B yang keduanya membentuk sudut teta

saya bisa menggambarkan proyeksi A pada B seperti di dot product ini adalah bagian segmen ini

Tapi bukan itu yang mau saya bahas, yang mau saya bahas adalah tinggi dari proyeksi tersebut

panjang ini kita tahu adalah A sin teta karena ini vektor A dan dia menghadap sudut teta

jadi secara trigonometri tinggi ini adalah A sin teta.

Jadi ketika tadi kita mendefinisikan besar A cross B

sebagai besar A dikali besar B dikali sin teta kita lihat bahwa A sin teta itu adalah tinggi ini

dan besar B adalah panjang base ini panjang segmen ini.

Jadi dengan kata lain A B sin teta itu menghitung luas jajaran genjang yang dibentuk oleh

Ini dengan kata lain adalah luas jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B.

Sekarang kita lihat kenapa kita butuh cross product sih?

Atau dengan kata lain di physical kira-kira konsep apa yang membutuhkan cross product?

Kenapa kita tidak cukup dengan dot product saja?

Saya akan ambil contoh operasi dua vektor yang sama seperti ketika saya membahas mengenai dot product tadi.

Kalau Anda lihat misalnya gini saya punya suatu sistem saya punya lengan katakanlah batang gitu ya.

Batang ini punya panjang R atau dengan kata lain batang ini atau posisi ujung dari batang ini punya vektor posisi R dari titik pusat.

Saya akan memberikan gaya pada ujung batang ini.

Saya akan memberikan gaya pada ujung batang ini katakanlah gayanya arahnya ke sini.

Dan ini kita tahu vektor posisinya itu dari sana ke sana.

Saya memberikan gaya pada ujung batang dengan kondisi di mana pangkal batangnya ini saya fix.

Ini satu-satunya titik di mana batangnya ini saya fix posisi lain atau titik lain di luar titik O ini tidak saya fix hanya titik O saja.

Nah kita bisa menduga apa yang terjadi secara fisis kalau saya lakukan kalau sistem ini saya berikan gaya tersebut.

Dan apa besaran fisika yang memparameterisasi terjadi rotasi?

Dari fisika dasar kita sudah belajar bahwa itu adalah apa yang kita namakan sebagai moment gaya atau torka.

Definisi tau itu biasa diberikan sebagai cross product antara lengan moment atau lengan rotasi dengan gaya yang bekerja.

Di mana R di sini adalah jarak dari posisi di mana dikerjakan gaya terhadap titik atau pusat rotasi.

Pusat rotasi berarti titik di mana dia diam tidak berpindah atau bergerak.

Nah inilah definisi dari torka atau moment gaya.

Kalau kita lihat secara besaran torka itu dibentuk dari perkalian antara panjang dengan gaya.

Persis sama seperti dimensi kerja atau usaha yang kita definisikan di video lalu tentang dot product.

Bedanya yang satu didefinisikan sebagai perkalian dot atau perkalian titik.

Yang ini didefinisikan sebagai perkalian silang atau perkalian cross.

Dan keduanya ini mendeskripsikan besaran fisika yang berbeda.

Torka atau moment gaya ini tidak sama dengan kerja.

Yang satu adalah skalar, yang satu lagi adalah vektor.

Padahal komponen yang menghasilkan keduanya masing-masing itu adalah sama, yaitu adalah perpindahan dan gaya.

Keduanya dikonstruksi dari perkalian antara vektor perpindahan dan vektor gaya.

Hanya saja yang satu itu dikonstruksi dari dot product antara kedua vektor tersebut,

sedangkan yang satu lagi dikonstruksi sebagai cross product dari vektor tersebut.

Keduanya menghasilkan dua besaran fisika yang berbeda.

Oke, kenapa torka itu didefinisikan seperti ini?

Karena dari intuisi kita dan dari pengalaman fisis kita, kita lihat torka ini adalah suatu yang menghasilkan,

suatu besaran yang menghasilkan gerak rotasi.

Dia analog seperti gaya pada gerak translasi.

Jadi suatu sistem yang tadinya tidak bergerak, tidak berotasi, agar dia bisa berotasi maka dia perlu dikerjakan torka atau moment gaya.

Nah, pada umumnya dengan pengalaman kita sehari-hari, kita misalnya pada kasus skrup,

kita lihat bahwa kalau rotasinya itu clockwise atau searah dengan perputaran arah jarum jam,

Sedangkan kalau rotasinya counterclockwise atau berlawanan arah dengan arah jarum jam,

akan menghasilkan rotasi yang arahnya keluar.

Jadi di sini, kita definisikan torka sebagai R cross F,

karena akan bergantung pada arah gayanya.

Kalau gayanya misalnya diberikan seperti pada gambar,

arah ke bawah, sedangkan R-nya adalah arah ke sana,

maka kita bisa menentukan ke mana arah torkanya.

Dengan apa? Dengan aturan tangan kanan lagi.

Kita lihat arah saya harus memutar tangan saya seperti ini.