Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas pengenalan turunan vektor dalam kalkulus vektor. Turunan vektor merupakan perubahan kecil dari vektor terhadap variabel bebas, mirip dengan turunan fungsi skalar. Konsep turunan vektor didefinisikan sebagai perubahan vektor terhadap variabel bebas, seperti dA dt untuk vektor a sebagai fungsi dari variabel skalar t. Melalui limit perubahan kecil, turunan vektor dapat diinterpretasikan secara geometris sebagai evolusi vektor terhadap perubahan variabel. Dengan demikian, turunan vektor memungkinkan pengukuran perubahan vektor terhadap variabel skalar dengan presisi yang sangat tinggi.

Oke, di video-video sebelumnya kita telah menyelesaikan pembahasan tentang aljabar vektor.

Nah mari sekarang kita masuk ke pembahasan tentang kalkulus vektor.

Sebagaimana yang kita ketahui bersama, pembahasan mengenai kalkulus itu umumnya bisa diklasifikasi menjadi dua hal.

Yang pertama adalah kalkulus diferensial atau derivatif atau turunan.

Nah, di pembahasan kali ini kita akan coba masuk ke pembahasan tentang kalkulus turunan terlebih dahulu.

Atau dengan kata lain bagaimana kita mempelajari turunan dari vektor.

Ketika kita mendengar kata turunan atau derivatif, tentunya kita familiar dengan definisi dari turunan yang sudah kita pelajari di kuliah kalkulus pertama.

Misalnya saya punya suatu fungsi, di kalkulus satu kita biasa belajar tentang turunan maupun integral dari fungsi skalar.

Seperti misalnya sebagai berikut, jika saya punya suatu fungsi f, fungsi skalar, di mana f ini adalah bergantung pada variable x.

Jadi dengan kata lain, x merupakan variable bebas dan f merupakan variable terikatnya, fungsi dari x.

Dan f merupakan fungsi dari satu variable saja, variable x saja.

Nah, kita bisa mendefinisikan turunan atau derivatif dari f terhadap x.

Secara formal, kita tuliskan seperti ini, df dx.

Atau mungkin juga notasi yang biasa kita gunakan itu seperti ini, f aksen, aksen di sini dalam arti turunan terhadap x.

Df dx ini merepresentasikan perubahan kecil dari fungsi f, jika kita ubah x-nya secara kecil pula.

Atau dengan kata lain, secara formal matematis, kita menghitung limit dari delta x mendekati 0 untuk perubahan x plus delta x dikurang fx.

Dan juga kita bagi dengan delta x tersebut.

Ini sudah kita familiar semua, definisi dari kalkulus fungsi skalar atau turunan dari fungsi skalar.

Nah, sekarang jika kita berbicara mengenai vektor, misalnya saya ambil vektor a,

dan vektor a ini seperti halnya fungsi skalar tadi, fungsi skalar f, vektor a ini adalah suatu vektor yang juga fungsi dari suatu variable bebas.

Katakanlah variable bebasnya adalah t, misalnya, untuk membedakan saja.

Nah, untuk saat ini t di sini bisa variable bebas apapun, meskipun nanti di fisika kadang t itu bisa kita gunakan sebagai label untuk variable waktu,

tapi saat ini saya tidak mengespesifikasi apa itu t, yang penting t adalah suatu variable bebas.

Nah, pertanyaan adalah, kalau saya punya suatu vektor yang merupakan fungsi variable t, bagaimana saya mendefinisikan turunan dari vektor tersebut?

Kita bisa mendefinisikan turunan sama seperti kita mendefinisikan turunan untuk fungsi skalar sebelumnya.

Jadi, dengan kata lain, saya bisa menghitung apa itu dA dt.

dA dt ini bisa kita definisikan sebagai limit delta t mendekati 0 dari perubahan kecil fungsi a.

Perubahannya berupa a t ditambah delta t dikurang a t, ini dibagi dengan perubahan kecil dari variable bebas yang bersekaitan.

Jadi, Anda bisa lihat bahwa ini persis sama, yang membedakan hanyalah bahwa yang satu adalah skalar, yang satu lagi adalah vektor.

Nah, patut ditekankan di sini bahwa vektor a ini merupakan fungsi yang bergantung pada suatu variable skalar.

Jadi, t di sini adalah suatu variable skalar.

Bagaimana kalau vektor a adalah fungsi dari variable vektor juga?

Nah, kita akan bahas nanti, tapi untuk saat ini mari kita tinjau bagaimana seandainya vektor a merupakan fungsi dari variable skalar t.

Nah, inilah definisi dari turunan vektor a terhadap variablenya, atau turunan vektor a terhadap t.

Kalau kita lihat bagaimana sih arti geometri dari perubahan ini,

kalau kita ingat sebelumnya bahwa vektor a itu dapat kita nyatakan atau representasikan dalam bentuk diagram panah.

Misalnya, di sini saya punya a, ini vektor a.

Nah, sekarang karena a adalah fungsi, bukan lagi vektor konstan, maka a akan berubah terhadap perubahan variable t.

Jadi, di sini adalah vektor a pada nilai t tertentu.

Nah, ketika t berubah menjadi t ditambah delta t, vektor a-nya berubah.

Bisa berubah dalam arti nilai besarnya berubah, maupun berubah dalam arti arahnya berubah.

Jadi, kita ambil bentuk umum perubahannya, bisa jadi bentuk dan arahnya berubah.

Jadi, katakanlah ini adalah vektor a hasil evolusi dari variable t.

Jadi, inilah vektor a untuk nilai t plus delta t.

Jadi, kita lihat bahwa secara geometrik, apa yang menjadi selisih dari kedua vektor ini,

selisih dari kedua vektor ini dideskripsikan oleh vektor tersebut.

Kita lihat bahwa a ditambah vektor baru ini, itu sama dengan a dari t plus delta t.

Nah, apa itu? Ini tiada lain daripada delta a.

Atau ini adalah a t plus delta t dikurang a t.

Dan itu merupakan pembilang dari definisi turunan tersebut.

Jadi, dengan kata lain, ketika kita menghitung turunan dari vektor a terhadap t,

itu sama dengan kita mengukur vektor resultan ini terhadap perubahan delta t

ketika delta t-nya itu kita ambil sangat kecil atau infinitesimal.

Oke, jadi inilah definisi dari turunan vektor terhadap variable skalarnya.