Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang perkalian vektor titik, salah satu operasi dalam aljabar vektor. Perkalian vektor dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, yaitu perkalian titik (dot product) dan perkalian silang (cross product). Perkalian titik menghasilkan skalar dan didefinisikan sebagai hasil dari besar vektor A dikali besar vektor B dikali cosinus sudut antara keduanya. Operasi ini memiliki aplikasi geometri yang menghitung proyeksi vektor satu ke vektor lain. Dot product antara vektor A dan B dapat dihitung dengan cara mengalikan komponen-komponen vektor tersebut. Hasilnya adalah penjumlahan dari hasil perkalian komponen X, Y, dan Z, yang merupakan skalar. Dot product juga memiliki sifat komutatif, di mana A dot B sama dengan B dot A.

Di video-video sebelumnya kita sudah membahas mengenai aljabar vektor dalam bentuk operasi penjumlahan

dan pengurangan antara dua atau lebih vektor.

Juga kita sudah menyinggung mengenai perkalian vektor dengan skalar.

Nah sekarang bagaimana jika kita punya dua vektor atau lebih yang ingin kita operasikan secara perkalian.

Oke pembahasan perkalian antara dua vektor atau lebih ini membutuhkan space tersendiri

oleh karena itu maka kita akan mulai membahasnya di video kali ini.

Secara umum perkalian vektor itu dapat diklasifikasi menjadi dua jenis.

Itu yang kita namakan sebagai perkalian titik atau lazim

merupakan terjemahan dari bahasa Inggris dot product.

Juga dikenal dengan perkalian skalar nanti kita lihat kenapa dinamakan sebagai skalar product.

Dan perkalian silang atau bahasa Inggrisnya adalah cross product.

Lazim juga dikenal sebagai vektor product.

Oke sebelum saya masuk ke perkalian titik atau dot product dahulu

mungkin di antara kita ada yang bertanya-tanya

kenapa sih perkalian vektor itu harus diklasifikasi menjadi dua seperti ini?

Salah satu alasannya adalah karena secara fisis di fisika

kita akan banyak menemui sistem di mana kita punya dua besaran fisika

atau lebih yang berupa vektor yang akan atau perlu dioperasikan secara perkalian.

Cara pengoperasian yang berbeda akan menghasilkan dua besaran fisika yang berbeda.

Jadi oleh karena itu sebagai suatu terinspirasi dari aplikasi di fisika dan di rekayasa

maka kita bisa mengklasifikasikan perkalian vektor sebagai dot product dan cross product.

Ada objek-objek atau ada sistem-sistem yang perkalian antara dua vektornya

harus dioperasikan secara titik, ada yang harus dioperasikan secara silang.

Oke mari kita bahas yang pertama dahulu yaitu operasi dot product atau perkalian titik.

Saya tulis nama singkatnya dot product atau perkalian titik bahasa Indonesianya.

Kalau saya punya dua buah vektor yang memiliki titik tangkap yang sama

saya namakan vektor A dan vektor B misalnya.

Kedua vektor ini bisa saya operasikan secara titik atau kita namakan dot product.

Operasi dot product ini atau perkalian titik ini itu didefinisikan sebagai berikut.

Vektor A didot product kan dengan vektor B jadi simbolnya dot atau titik

itulah kenapa dinamakan sebagai dot product.

Itu didefinisikan sebagai pertama hasilnya ini adalah skalar

didefinisikan sebagai suatu besaran skalar.

Ini operasi dari dua buah vektor menghasilkan skalar.

Itulah kenapa dinamakan juga sebagai perkalian skalar atau skalar product.

Ini didefinisikan sebagai besar dari vektor A

lalu dikalikan dengan cos product, sorry, dengan cos sinus dari sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B

Kita akan lihat nanti bahwa definisi ini terinspirasi dari satu fenomena di fisika.

Sehingga kenapa kita butuh mendefinisikan suatu operasi yang namanya dot product.

Jadi di sini kalau saya punya vektor A, saya punya vektor B,

saya mengoperasikan vektor A dan B secara titik A dot B

itu adalah besar vektor A dikali besar vektor B

dikali cos sinus dari sudut yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B.

Oke, sebelum kita lanjut, kira-kira apa artifisis dari operasi dot product ini?

Atau mungkin bukan artifisis tapi kalau kita lihat secara geometri apa sih arti dari dot product ini?

Kita akan lihat nanti aplikasi fisisnya seperti apa.

Pertama kita lihat di sini, ini vektor A, ini vektor B.

Kalau sekarang saya jatuhkan proyeksi A pada B dengan kata lain di sini,

maka vektor yang merah ini itu adalah proyeksi vektor A pada vektor B.

Nah apa besar proyeksi vektor A pada vektor B?

Dari trigonometri dengan mudah kita lihat bahwa panjang proyeksi vektor A pada vektor B ini

tiada lain daripada besar vektor A dikali cos sinus theta.

Oke, jadi dengan kata lain dot product A dengan B ini menghitung perkalian antara besar vektor B

Itulah yang dihitung oleh operasi dot product ini.

Ini juga menyatakan perkalian besar vektor A dengan besar proyeksi vektor B pada vektor A.

Karena Anda lihat dengan mudah, dengan penalaran trigonometri yang sama,

kalau saya jatuhkan proyeksi vektor B pada vektor A,

saya akan dapatkan proyeksi besar B dikali cos theta.

Jadi ini, dot product ini mendeskripsikan perkalian besar vektor A

dengan proyeksi vektor B pada vektor A, atau sebaliknya.

Oke, itu yang dihitung oleh dot product ini.

Sekarang setelah kita tahu interpretasinya, maka kita bisa melakukan perhitungan teknis.

Sekarang kalau saya punya vektor A dinyatakan oleh AXI tambah AYJ ditambah AZK.

Dan vektor B dinyatakan oleh BXI ditambah BYJ ditambah BZK.

Oke, bagaimana saya mengoperasikan A.B ini?

Nah, kita bisa mengoperasikan A.B secara eksplisit.

Berarti kan ini adalah AXI ditambah AYJ ditambah AZK

Nah, kalau kita operasikan secara eksplisit, kita punya,

di sini ada, kita lihat, ingat kembali bahwa AX, AY, AZ, demikian pula BX, BY, dan BZ,

ini merupakan komponen-komponen dari vektor A dan B.

Dengan kata lain, ketiganya ini merupakan besaran skalar dari vektor A dan vektor B.

Jadi kalau saya kalikan AXI dengan BXI misalnya,

komponennya mengalikan seperti dua buah bilangan skalar dikali.

berarti yang dot product itu adalah vektor satuan I dengan vektor satuan I.

Ditambah AX, BY, I.J ditambah AX, BZ, I.K.

I.J dikali BXI, saya punya I.J.I ditambah I.J.J ditambah

Dan terakhir saya punya AZ, K dikalikan dengan BXI.

Maka saya punya AZ, BX, K.I ditambah AZ, BY, K.J.

Oke, jadi secara eksplisit A.B ini punya sembilan suku seperti ini.

Oke, nah sekarang hasilnya akan bergantung pada apa hasil dot product dari faktor-faktor satuan atau basis-basis faktor ini.

Untuk mengoperasikan faktor-faktor satuan tersebut kita kembali ke definisi awal.

Bahwa A.B itu adalah besar faktor A dikali besar faktor B dikali sudut yang dibentuk oleh faktor A dan B.

Dan kali ini yang berperan sebagai A dan B adalah faktor satuan I, J, dan K.

Jadi artinya kalau saya ingatkan kembali bahwa faktor satuan itu sifatnya adalah saling ortogonal atau saling tegak lurus atau sama lain.