Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas sifat-sifat turunan parsial dari vektor. Turunan parsial dari fungsi vektor atau perkalian fungsi vektor dapat dibuktikan memiliki properti khusus. Misalnya, hasil perkalian antara fungsi skalar dan fungsi vektor memiliki aturan turunan tertentu. Selain itu, operasi dot product dan cross product antara vektor juga memiliki sifat turunan parsial yang spesifik. Turunan parsial order 2 pada fungsi skalar atau vektor juga dapat diterapkan, termasuk turunan parsial campuran yang melibatkan lebih dari satu variabel. Jika turunan parsial order 2 kontinu, fungsi tersebut memenuhi sifat komutatif, di mana urutan turunan tidak memengaruhi hasilnya.

Oke, setelah kita mendefinisikan turunan parsial,

kita juga sebenarnya bisa membuktikan propertis atau sifat-sifat

dari turunan parsial dari fungsi vektor atau perkalian fungsi vektor.

Nah, kali ini saya tidak akan mencoba menurunkan secara eksplisit,

karena metode penurunannya itu sangat mirip dengan pembuktian untuk turunan biasa.

Jadi ini Anda bisa verifikasi sendiri bahwa sifat-sifat tersebut berlaku.

Jadi di sini kalau saya punya f sebagai fungsi skalar yang bergantung pada x, y, z,

membuat pula saya punya fungsi vektor A dan B yang juga masing-masingnya bergantung pada

pembuka x, y, dan z, maka dengan mudah Anda bisa tunjukkan sifat-sifat tersebut berlaku.

Pertama, bahwa misalnya kalau saya punya perkalian antara fungsi skalar f dan fungsi vektor A,

maka turunan parsial dari hasil perkalian terhadap x itu sama dengan turunan parsial f

dikali dengan vektor A ditambah skalar f dikali dengan turunan parsial dari vektor A.

Membuat pula untuk operasi dot product 2 buah vektor, kalau kita turunkan secara parsial

sama dengan turunan parsial vektor pertama didotkan dengan vektor kedua,

ditambah vektor pertama didotkan dengan turunan parsial vektor kedua.

Dan ini juga berlaku untuk turunan parsial terhadap y dan terhadap z.

Di sini saya tuliskan terhadap x saja, tapi ini bisa dijeneralisir.

Nah, mungkin satu sifat yang kita belum temui di turunan biasa adalah

bagaimana kalau suatu fungsi baik itu skalar maupun vektor diturunkan dua kali atau lebih.

Maksudnya seperti ini, kalau saya punya katakanlah fungsi skalar f,

Nah, ini fungsi vektornya akan mengikuti, jadi saya mengambil contoh skalar saja.

Saya bisa mencari turunan parsial dia terhadap x, turunan parsial dia terhadap y,

Sekarang, kalau misalnya do f, do x ini saya turunkan sekali lagi terhadap x,

jadi kalau saya lakukan operasi do do x terhadap do f, do x, apa yang saya dapatkan?

Sama seperti aturan turunan biasa, saya akan dapatkan turunan parsial order 2 terhadap x.

Jadi hasilnya, biasanya kita namakan sebagai turunan parsial f order 2,

atau turunan parsial order 2 f terhadap x.

Demikian pula kalau saya punya turunan parsial terhadap y dari do f, do y.

Ini kita namakan sebagai turunan parsial order 2 f terhadap y,

dan juga untuk yang z, bisa dijurnalisir.

Tapi karena sekarang turunan parsial artinya kita punya lebih dari satu pembah,

maka ini membuka kesempatan untuk menurunkan 2 kali,

Misalnya apa? Misalnya saya punya do f, do x seperti tadi,

saya akan turunkan secara parsial lagi, tapi kali ini bukan terhadap x,

Inilah yang kita namakan sebagai turunan parsial campuran atau mixed partial derivatives.

Kita bisa menurunkan f secara campuran terhadap y dan x,

kita juga bisa punya turunan parsial order 2,

kita juga bisa punya turunan parsial order 2 yang campuran.

Kalau kita lanjut ke order yang lebih tinggi,

tentunya ada lebih banyak kombinasi campuran

turunan parsial yang bisa kita konstruksi.

Oke, yang mau saya highlight di sini adalah

jika suatu fungsi, baik itu skalar maupun vektor,

dia memiliki turunan parsial order 2 kontinus,

jadi paling tidak turunan parsial order 2 itu kontinus,

maka fungsi tersebut memenuhi kaedah komutatif seperti ini.

Ini saya miliki contoh vektor, tapi ini juga berlaku untuk skalarnya.

Artinya jika saya punya suatu fungsi, katanya fungsi A,

jadi tadi catatannya adalah bahwa jika A ini punya

turunan parsial, nilai turunan parsial order 2 yang kontinus, setidaknya.

Artinya tidak peduli urutan turunan parsial mana yang dilakukan terlebih dahulu,