Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas sifat turunan perkalian skalar dengan vektor. Turunan dari vektor A plus B atau A minus B adalah turunan dari A terhadap T ditambah atau dikurangi turunan B terhadap T, berdasarkan sifat distributif turunan. Aturan Leibniz berlaku saat mengalikan dua fungsi skalar, dan berlaku juga saat mengalikan fungsi skalar dengan vektor. Hasil perkalian skalar dan vektor adalah vektor yang diamplifikasi besarnya sesuai dengan nilai skalar. Turunan dari perkalian fungsi skalar dan vektor mengikuti aturan Leibniz, di mana hasilnya adalah turunan fungsi skalar dikali komponen vektor, ditambah fungsi skalar dikali turunan komponen vektor.

Oke, sekarang setelah kita berkenalan lebih lanjut dengan turunan dari vektor atau derivatif dari vektor,

mari kita membahas beberapa properti atau sifat-sifat dari derivatif vektor tersebut.

Pertama, mungkin properti yang paling trivial yang bisa saya tunjukkan adalah jika saya punya dua buah vektor,

A dan B, dan jika A dan B ini fungsi dari satu variable skalar yang sama, fungsi T,

maka turunan atau derivatif dari A plus B atau A minus B itu hanyalah turunan dari A terhadap T

ditambah atau dikurang dari turunan B terhadap T.

Ini properti yang paling simpel, dan ini adalah konsekuensi langsung dari sifat distributif turunan.

Oke, sekarang bagaimana kalau kita punya perkalian, dua vektor atau lebih dikalikan.

Dan kita tahu bahwa perkalian vektor itu bisa berupa dot product atau berupa cross product.

Jadi bagaimana kita menurunkan perkalian dua buah vektor atau lebih.

Sebelum kita masuk situ, kita bisa ingat kembali, kalau saya punya dua buah fungsi skalar,

misalnya saya namakan F fungsi T, dan G fungsi T adalah fungsi-fungsi skalar,

maka kita tahu ada aturan yang kita namakan sebagai aturan Leibniz atau Leibniz rule,

dimana turunan dari F dikali G itu dapat dinyatakan sebagai turunan F dikali G ditambah F dikali turunan G.

Atau mungkin lebih mudah dituliskan sebagai F aksen dikali G ditambah F G aksen.

Nah, ini berlaku di fungsi skalar, atau di kalkulus skalar.

Sekarang kita lihat, jika kita punya fungsi-fungsi vektor, bagaimana aturan tersebut berlaku?

Sebelum saya membahas turunan dari operasi perkalian dua buah vektor,

mungkin saya akan membahas terlebih dahulu bagaimana jika saya punya sebuah vektor,

katakanlah vektor A, dikalikan dengan sebuah skalar, katakanlah skalar F.

Jadi, jika saya punya suatu skalar, F fungsi T, dikalikan dengan vektor A yang juga fungsi T,

maka kita sudah tahu bahwa hasil perkalian ini hanyalah suatu vektor juga.

Ini adalah vektor A yang diamplifikasi besarnya sebesar dikalikan dengan nilai skalar F.

Sekarang jika saya ingin mencari turunan dari perkalian ini, perkalian sebuah fungsi skalar dan sebuah fungsi vektor,

Ini bisa ditinjau misalnya dengan menggunakan definisi formal turunan yang sudah kita bahas sebelumnya.

Jadi, bisa kita tulis sebagai limit dari delta T mengganti 0,

Dari ini, Ft plus delta T dikali A, T plus delta T dikurang Ft dikali A, T.

Oke, itu bisa kita lakukan dengan menyatakan secara eksplisit atau secara umum bagaimana vektor A ini diekspansi di ruang yang kita tinjau.

Kita selama ini masih berkutat di ruang tiga dimensi dengan menggunakan basis Cartesian.

Jadi, mari kita nyatakan A ini dalam ruang tiga dimensi Cartesian.

Itu berarti sama dengan saya mencari apa itu ddt dari F fungsi T mengalihkan Ax fungsi T arah I ditambah Ay fungsi T arah J

Di mana Ax, Ay, dan Az bagaimana kita ketahui adalah komponen-komponen skalar dari vektor A, ya kan?

Nah, karena dia adalah komponen-komponen skalar, maka ketika dikalikan dengan F hasilnya adalah suatu fungsi skalar pula.

Jadi, ini sama dengan kalau kita uraikan ini adalah F, langsung saja saya tidak perlu menuliskan fungsi T ya, kita pahami bahwa F dan semua komponen A ini adalah fungsi T.

Jadi, ini F dikali Ax arah I ditambah F dikali Ay arah J ditambah F dikali Az arah K.

Artinya apa? Artinya ini sama dengan mengevaluasi dperdt dari F dikali Ax ya pada arah I ditambah F dikali Ay pada arah J

ditambah turunan dari F dikali Az pada arah K.

Nah, kenapa saya bawa ke sini? Karena sekarang kita bisa menerapkan aturan Leibniz tersebut ya.

Jadi, yang saya akan namakan sebagai aturan Leibniz ya.

Karena aturan Leibniz ini berlaku untuk dua buah fungsi skalar. Nah, sekarang kita punya dua buah fungsi skalar ya di masing-masing suku ini yang kita turunkan.

Jadi, kalau saya uraikan ini berarti adalah langsung saja mungkin biar mudah saya pakai notasi aksen ya biar tidak terlalu ramai tulisannya.

Jadi, di sini saya tulis sebagai F aksen ya artinya dfdt dikali Ax ditambah F dikali Ax aksen.

Ini arah I, ini adalah F aksen Ay ditambah F ay aksen arah J ditambah F aksen Az ditambah F az aksen arah K.

Nah, kalau kita perhatikan ini ada enam suku ya.

Jadi, kita bisa kumpulkan yang kita bisa regrouping enam suku total ini menjadi dua suku besar masing-masingnya berisi tiga suku.

Seperti apa? Seperti ini. Jadi, saya tulis lagi di sini.

Tadi kan kita ingin mencari turunan dari F dikali vektor A atau ini bisalah kita tulis sebagai F dikali vektor A aksen.

Nah, kalau kita lihat dari sini kita bisa kumpulkan tiada lain.

Pertama, saya akan mengumpulkan yang suku-suku yang mengalikan F aksen.

Dimana itu ada di sini, di sini, dan di sini.

Oke, maka ketiganya mengalikan F aksen. Jadi, saya bisa keluarkan F aksen ya.

Sisanya yang dalam kurung berarti adalah AX arah I ditambah AY arah J ditambah AZ arah K.

Oke, nah yang kedua sekarang tiga suku terakhir saya akan mengumpulkan yang mengalikan F.

Itu adalah suku tersebut, tersebut, dan tersebut.

Jadi, ini dapat kita tuliskan sebagai F, jadi tidak ada aksennya, mengalikan AX aksen arah I ditambah AY aksen arah J ditambah AZ aksen

Oke, tapi kalau kita lihat sekarang ekspresi ini tiada lain daripada sebagai berikut.

Dan ini tiada lain daripada isi dari faktor A aksen atau turunan dari faktor A.

Oke, jadi kita bisa menyimpulkan bahwa jika saya punya suatu fungsi faktor ya,

yang saya kalikan dengan fungsi skalar, lalu perkalian ini saya turunkan.

Saya dapatkan bentuk aturan Leibniz, ya semacam aturan Leibniz, ya.

Di mana yang saya dapatkan adalah turunan dari fungsi skalar dikalikan fungsi faktornya,

ditambah fungsi skalar tersebut dikalikan dengan turunan dari fungsi faktor.

Oke, ini adalah properti perkalian fungsi skalar dengan fungsi faktor.