Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas sifat turunan perkalian titik vektor dengan vektor. Turunan dari perkalian dot product vektor A dan B dapat diungkapkan sebagai distributif, di mana hasilnya adalah turunan dari masing-masing komponen vektor tersebut. Dengan menggunakan aturan Leibniz, turunan dari perkalian ini dapat disederhanakan menjadi turunan dari faktor A didotkan dengan B ditambah A didotkan dengan turunan dari B. Hal ini menggambarkan bahwa turunan dari A dot B adalah turunan dari faktor A didotkan dengan B ditambah faktor A didotkan dengan turunan dari B.

Sekarang mari kita masuk ke pembahasan tentang turunan dari perkalian 2 buah fungsi

Seperti yang sudah saya bahas sebelumnya,

perkalian 2 buah vektor dapat diklasifikasi menjadi dot product ataupun cross product.

Mari kita bahas kalau perkaliannya adalah dot product dahulu.

dot productnya seperti yang kita sudah ketahui di ruang 3 dimensi,

Jika AX, AY, AZ maupun BX, BY, BZ masing-masingnya adalah komponen dari vektor A dan vektor B.

Sekarang apa yang terjadi atau apa yang kita dapatkan kalau kita turunkan keduanya?

Jadi saya mau mencari, jika sekarang A dan B adalah fungsi T,

jadi AX, AY, AZ, BX, BY, BZ semuanya adalah fungsi T,

maka kalau saya turunkan mereka, artinya saya turunkan ketiga suku ini.

Dan karena turunan itu sifatnya distributif,

maka sama dengan turunan dari masing-masing suku tersebut.

Kita lihat ini semuanya adalah skalar, karena A.B adalah skalar,

jadi masing-masing suku ini adalah bilangan skalar.

Jadi ini sama dengan saya menghitung AX, BX ditambah AY, BY ditambah AZ, BZ.

Karena keduanya adalah fungsi skalar untuk masing-masing suku,

kedua perkalian di masing-masing suku ini adalah skalar,

Turunan dari perkalian AX dan BX adalah turunan AX dikali BX ditambah AX dikali turunan BX.

Jadi kita bisa tuliskan ini adalah AX aksen, BX ditambah AX dikali BX aksen.

Saya buka saja semua kurungnya karena sama, setara gitu ya.

Ditambah, ini berarti AY aksen dikali BY ditambah AY dikali BY aksen ditambah AZ aksen,

Inilah bentuk eksplisit dari turunan A.B, bentuk eksplisitnya seperti ini.

Tapi tentunya kita bisa sederhanakan ini, kita bisa nyatakan bentuk eksplisit ini

Caranya adalah dengan mencoba regrouping atau mengumpulkan ke-6 suku ini sebagai berikut.

Jadi saya akan mengumpulkan suku yang pertama dengan suku ketiga dan suku kelima dalam satu kurung.

Kemudian saya akan mengumpulkan yang suku kedua dengan keempat dan ke-6.

Jadi sekarang saya punya X aksen BX ditambah AY aksen BY ditambah AZ aksen BZ.

Lalu ditambah dengan AX BX aksen ditambah AY B aksen ditambah AZ BZ aksen.

Nah ini sama saja, saya tidak mengubah apapun, saya cuman meng-regrouping.

Tapi sekarang kita bisa melihat di suku besar pertama, ini ada AX aksen dikali BX ditambah AY aksen dikali BY ditambah AZ aksen dikali BZ.

Ini terlihat seperti hasil dot product dari dua buah faktor.

Ini bukan faktor A dot B karena di sini komponen adalah AX aksen, AY aksen, dan AZ aksen.

Tapi kita sudah bisa tahu dengan mudah bahwa ini adalah dot product dari faktor A aksen atau turunan dari faktor A dengan faktor B.

Jadi saya bisa tuliskan bahwa ini tidak ada lain daripada A aksen, turunan dari faktor A didotkan dengan faktor B.

Kalau kita bisa menyatakan faktor A itu dalam komponen-komponennya, maka A aksen dapat dengan mudah kita nyatakan pula.

Kalau kita dot product-kan dia dengan B, Anda bisa lihat bahwa kita dapatkan ekspresi seperti ini.

Demikian pula yang sisi kedua ini atau suku besar kedua ini dapat dengan mudah kita verifikasi bahwa ini tidak ada lain daripada A dot B aksen.

Maka dengan kata lain kita dapatkan relasi bahwa turunan dari A dot B itu dapat dituliskan seperti turunan dari faktor A didotkan faktor B ditambah faktor A didotkan dengan turunan dari faktor B.

Jadi kita kembali dapatkan semacam bentuk aturan Leibniz, tapi untuk perkalian dot product dua buah faktor.