Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas Teorema Gauss (Teorema Divergensi) dalam analisis vektor. Teorema ini menyatakan bahwa integral dari divergensi suatu vektor terhadap volume sama dengan integral vektor tersebut dievaluasi pada permukaan tertutup. Istilah lain untuk teorema ini adalah Teorema Divergensi atau Teorema Gauss. Penjelasan melibatkan konsep integral lipat 3 untuk volume dan integral lipat 2 untuk permukaan, serta pentingnya memperhatikan permukaan tertutup yang menjadi batas dari volume yang ditinjau.

Di pembahasan sebelumnya kita sudah menurunkan relasi ini yang menyatakan bahwa kerapatan

atau densitas flux dari faktor A, persatuan volume, itu ekivalen atau sama dengan divergensi

Kalau saya kalikan kedua ruasnya dengan elemen volume dan saya integralkan, atau saya tuliskan seperti ini,

jadi elemen flux yang dimaksud adalah flux dari faktor A, jadi saya berikan mutasi subscribe A ini

untuk menyatakan bahwa ini flux yang diukur dari faktor A. Ini adalah divergensi A dikalikan elemen volume.

Oke, berarti kalau saya integralkan kedua ruasnya, maka flux dari faktor A,

berarti flux ini flux total dan flux net, flux net dari faktor A itu adalah integral dari divergensi faktor A

Oke, sementara itu, oke ini jadi saya simpan dulu hasil ini, sementara itu saya mau meninjau kembali ke pembahasan lalu

bahwa flux dari faktor A yang adalah net dan total, jadi disini net, itu kan adalah selisih dari flux yang out

dikurang flux yang in. Saya tidak akan menuliskan subscribe A terus-terusan, jadi ini dipahami bahwa ini konteksnya untuk faktor A.

Nah, kita tahu bahwa flux yang in total, total artinya incoming flux dari komponen arah permukaan X, Y, dan Z.

Dan karena flux itu skalar, maka totalnya berarti penjumlahan aljabar dari masing-masing kontribusi ketiga komponen tersebut.

Ini berarti, atau saya tuliskan seperti ini ya, delta, atau mungkin langsung saja D, karena kita sudah ambil limitnya.

Jadi ini adalah D in, itu adalah, ya kalau kita tuliskan ini AX, oke, mungkin saya mudahkan, kita kembali ke delta dulu ya.

Nanti kita baru ambil limit sehingga kita bisa paham alurnya. Jadi delta V in itu berarti adalah AX, delta Y, delta Z ditambah AY gitu ya, delta X, delta Z ditambah AZ, delta X, delta Y.

Nah, disini dipahami bahwa AX, AY, dan AZ adalah yang komponen in, incomingnya ya.

Jadi disini AX, AY, dan AZ ini fungsi dari X, Y, dan Z.

Kalau kita ambil limit infinitesimalnya, maka ini adalah, ya kalau kita lihat ini menjadi AX, DY, DZ ditambah AY, DX, DZ ditambah AZ, DX, DY.

Nah, ingat kembali bahwa permukaan itu adalah vektor, ya kalau saya punya permukaan seperti ini gitu ya, nah maka vektornya itu adalah yang, sorry, vektornya adalah yang tegak lurus pada bidang permukaan, ya arah vektor normalnya.

Jadi kalau ini merupakan misalnya, ini adalah delta X, delta Y, ya, maka luas permukaan tersebut, ini mendeskripsikan luas permukaan pada arah yang tegak lurus dari arah X dan Y, yaitu arah Z, ya jadi ini adalah permukaan arah Z.

Sebenarnya, dia bisa saya tulis seperti ini ya, delta X, delta Y, dan karena ini secara eksplisit mendeskripsikan permukaan arah Z, ya itu berarti adalah delta S arah Z, yang hanyalah delta X, delta Y, dengan unit vektor Z, atau unit vektor K, ya.

Nah, kita bisa identifikasi bahwa ini adalah elemen permukaan pada arah X, ya, ini adalah elemen permukaan pada arah Y, ya, dan demikian pula ini adalah elemen permukaan pada arah Z.

Jadi kita melihat bahwa ekspresi ini tiada lain daripada dot product, dot product apa? Dot product dari vektor A yang arah masuk, jadi saya namakan vektor A yang in, incoming, didotkan dengan elemen permukaan masuk, ya, yang incoming juga.

Nah, inilah ekspresi dari elemen flux masuk, oke, elemen flux masuk dideskripsikan sebagai dot product antara incoming, vektor atau vektor A yang masuk, dan luas permukaan dari arah masuk tersebut.

Secara penalaran yang sama, kita juga bisa menurunkan atau mengekspresikan elemen flux yang outgoing atau yang keluar, yang menembus keluar, ya, dengan penalaran yang sama, tidak perlu saya ulang lagi, ini bisa kita tuliskan sebagai vektor A yang keluar, ya, outgoing, didotkan dengan elemen permukaan.

Yang keluar, maka di V yang netnya, itu berarti adalah elemen yang keluar dikurang elemen yang masuk, oke.

Kalau saya integralkan, ya, berarti di sini, kalau saya integralkan kedua ruasnya, ini saya usahakan dulu, ya, jadi di sini adalah integral dari d V net, yaitu adalah V itu sendiri ya, V total.

Nah, ini berarti adalah integral dari A dot d S yang S out, ya, dikurang A dot d S yang arah in, ya, artinya ini mendeskripsikan integral permukaan, tapi integral permukaan tertutup, ya, karena semua yang out, ya,

permukaan yang out dikurang dengan permukaan yang in, atau secara kalkulus, berarti dia mendeskripsikan suatu integral tertutup, atau suatu integral permukaan tertutup.

Oke, nah, saya punya hasil ini, ya, saya juga punya hasil ini, ya, kalau saya samakan keduanya, saya butuh hapus ruang di sini, ya.

Kalau saya samakan keduanya, artinya saya punya relasi berikut, integral dari divergensi sembarang vektor terhadap volume, ya, itu sama dengan integral dari vektor tersebut,

Nah, persamaan ini adalah apa yang kita namakan sebagai teorema, oke, silahnya adalah teorema fundamental untuk divergensi.

Nah, ingat kembali ketika kita membahas tentang medan konservatif, saya menurunkan teorema fundamental untuk gradien, atau integral gradien, makanya untuk integral divergensi.

Istilah lainnya yang lebih dikenal adalah teorema divergensi saja, ya, untuk singkatnya, atau istilah lain juga, yang juga sama terkenalnya, dan saya akan lebih sering merujuk ke istilah terakhir ini, untuk selanjutnya.

Nah, bagi kalian yang sudah belajar tentang medan elektromagnetik, tentunya familiar dengan istilah hukum gauss, ya, saya juga sempat menyinggung itu di beberapa video sebelumnya, ya.

Patut dipahami bahwa hukum gauss dan teorema gauss ini tidak identik, tidak sama, tapi saling berkaitan, ya, jadi saling berkaitan meskipun tidak sama, jadi ketika saya berbicara tentang hukum gauss, itu dimaksud adalah spesifik hukum di medan elektromagnetik, atau mungkin di medan gravitasi, ya.

Sedangkan teorema gauss, kalau saya berbicara tentang teorema gauss, ini adalah teorema yang berlaku secara universal untuk sembarang vektor, ya, A, oke, sembarang vektor A.

Jadi kalau saya punya sembarang vektor A, maka integral volume dari divergensi vektor tersebut akan sama dengan integral vektor tersebut dievaluasi pada permukaan tertentu.

Nah, ada beberapa catatan, ada beberapa komentar, ya, untuk statement ini, statement matematika ini.

Saya perlu berikan beberapa catatan agar Anda tidak salah paham.

Pertama, saya butuh hapus ini, oke, pertama ketika kita berbicara mengenai integral permukaan dan integral volume, harus dipahami bahwa yang dimaksud

secara eksplisit itu integralnya adalah integral lipat, dan jumlah lipatnya itu bergantung pada dimensi dari variable integrasinya.

Jadi kalau misalnya saya berbicara tentang integral volume, misalnya, ya, integral volume dari sesuatu, sesuatu ini bisa apapun.

Saya kan sering menuliskannya seperti ini, cukup satu tanda integral, ya, tapi secara eksplisit tadi maksud ini adalah 3 integral lipat 3.

Kenapa lipat 3? Karena dv ini adalah elemen volume, ya, dan elemen volume itu berarti dia punya 3 variable integrasi.

Dalam koordinat cartesian, dia adalah dx, dy, dz. Jadi saya harus mengintegralkan terhadap x, terhadap y, dan terhadap z.

Demikian pula kalau saya punya integral dari suatu permukaan, ya, maka ini yang dimaksud adalah integral lipat 2, ya, integral lipat 2.

Karena permukaan itu adalah objek 2 dimensi. Jadi misalnya saya ambil pada sembarang arah, untuk lebih mudahnya mungkin saya ambil x dan y, gitu.

Nah, berarti saya harus mengintegralkan terhadap variable x dan terhadap variable y, berarti saya butuh 2 lipat, ya.

Itu yang dimaksud secara eksplisit, ya. Jadi meskipun Anda lihat di sini cuma saya tulis 1, tapi ketika kita mengevaluasi,

mengevaluasi secara eksplisit, Anda harus mengevaluasi ini adalah integral lipat 3,

kalau kita perhatikan kembali statement matematika ini,

ruas kanan integralnya adalah integral permukaan tertutup.

integral permukaannya ini bukan sembarang permukaan.

Jadi di sini, S di sini bukanlah arbitrary surface atau sembarang permukaan tertutup,

melainkan permukaan tertutup yang menjadi boundary atau batas dari volume yang dimaksud.

Jadi S di sini adalah boundary atau batas

Dengan kata lain, bentuk permukaannya akan bergantung pada volume,

pada integral volume yang kita tinjau ya.

Kalau misalnya pada kasus tadi kita punya volume

yang adalah sisi depan, sisi belakang, sisi atas, sisi bawah, sisi kanan, dan sisi kirinya.

maka kita harus mengevaluasi integral ini untuk 6 sisi permukaan tersebut.

Karena permukaan di sini adalah permukaan tertutup.

Permukaan tertutup adalah boundary atau batas dari suatu volume.

Kalau saya punya volume-nya adalah volume bola,

atau misalnya integral dari divergensi suatu faktor tersebut itu dievaluasi pada volume bola,

S-nya permukaan tertutup yang menjadi batas atau boundary dari bola ini adalah selimut bola tersebut.

bahwa S-nya ini ditentukan dari volume di ruas kiri.