Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas teorema Green dalam analisis vektor, khususnya pada integral kalkulus vektor. Teorema ini mengaitkan integral sepanjang kontur tertutup dengan integral pada permukaan terbuka yang dibentuk oleh kontur tersebut. Dengan memanfaatkan aturan parsial dan integral lipat 2, teorema Green memungkinkan evaluasi integral dari medan skalar F dan G terhadap x dan y. Hasilnya adalah hubungan antara integral permukaan do G do X minus do F do Y dengan integral sepanjang kontur tertutup F dx + G dy. Teorema Green pada bidang ini memberikan pemahaman yang mendalam tentang keterkaitan antara integral lintasan dan integral permukaan dalam analisis vektor.

Sekarang mari kita tinjau bidang 2 dimensi ya, bidang xy dan pada bidang xy ini saya punya suatu loop tertutup ya

atau kita namakan kontur. Konturnya ini arahnya counter clockwise atau berlawanan arah dengan arah jarum jam

dan counter dinamakan counter O. Counter O ini adalah counter yang menghubungkan titik A, B, C, D kembali ke A.

Titik A, B, C, D ini masing-masingnya adalah titik-titik di bidang xy, mana A itu berarti adalah x1, y2, B adalah x1, y1,

C adalah x2, y1, dan D adalah x2, y2. X1, x2, y1, dan y2 adalah nilai-nilai di sumbu x dan di sumbu y.

Oke, maka kontur tertutup ini membentuk atau mendefinisikan suatu bidang.

Untuk mudahnya, di sini bidang yang dibentuk adalah saya gambarkan berupa persegi panjang.

Tidak harus persegi tapi secara umum persegi panjang.

Dengan panjangnya adalah delta x dan lebarnya adalah delta y.

Sekarang mari kita tinjau dua buah medan skalar.

Tinjau dua buah medan skalar yang saya namakan medan skalar F dan medan skalar G yang hidup di dua dimensi ini.

Jadi saya punya dua buah medan skalar, keduanya fungsi x dan y.

Saya ingin mengevaluasi integral sepanjang kontur tersebut karena kontur ini by definition adalah suatu loop tertutup.

Maka integralnya menjadi integral tertutup.

Integral sepanjang kontur O adalah integral lintasan tertutup.

Saya mau mengevaluasi integral lintasan tertutup dari F terhadap x ditambah G terhadap y.

Bentuk ini tentunya untuk mudahnya bisa saya tulis menjadi suku 1 dan suku 2.

Dimana suku 1 itu berarti integral terhadap F untuk x.

Kita mending jauh yang suku 1 dulu untuk memudahkan.

Karena integral terhadap x saja maka kita bisa lihat di sini

segmen A ke B atau segmen AB dan segmen CD ini dx nya 0.

A dan B ini sama-sama punya nilai x nya adalah x1 sehingga perubahan x nya 0.

Dengan pula segmen CD, C dan D ini sama-sama punya nilai x nya adalah x2 sehingga dx nya 0.

Sehingga integral tertutup ini meskipun kita mengevaluasi untuk seluruh loop

atau seluruh kontur nilainya tidak 0 pada segmen BC dan segmen DA.

Dari B ke C nilai Y nya constant yaitu Y1.

Nilai Y nya juga constant tapi adalah Y2.

Jadi inilah isi dari integral kontur f x, y terhadap x.

Dari kontur yang saya buat maka suku yang survive atau suku yang tidak 0 hanyalah 2 suku ini.

Integral sepanjang BC dari integral sepanjang DA.

Tapi by definition segmen DA itu sama dengan segmen BC.

Panjangnya sama dari definisi kontur yang saya buat.

Sehingga saya bisa ganti integral dari D ke A ini menjadi integral dari C ke B.

Tapi dari integral dari C ke B itu adalah minus integral dari B ke C.

Jadi saya bisa tuliskan semuanya dalam bentuk integral dari B ke C.

Jadi saya punya di sini f x, y1 dikurang f dari x, y2.

Jadi ini adalah isi atau bentuk yang lebih sederhana dari suku pertama.

Dengan penalaran yang serupa kita juga bisa tuliskan bentuk suku keduanya seperti apa.

Suku kedua adalah integral terhadap y saja.

Yang tidak 0 hanyalah segmen dari A ke B dan segmen dari C ke D.

Karena segmen B, C itu nilai y nya konstan.

Jadi ini bisa kita tuliskan sebagai integral dari A ke B.

Jadi di sini saya masukkan x1, y ditambah integral dari C ke D.

Sama seperti sebelumnya, segmen C, D ini panjangnya sama dengan segmen A, B.

Jadi saya bisa tuliskan dia sebagai integral dari B ke A.

Atau B ke A itu sama dengan minus dari integral A ke B.

Jadi saya bisa gabungkan semuanya dalam tanda integral dari A ke B.

Jadi saya masukkan ini ke sini, itu ke sini.

Sekarang saya akan meninjau suatu integral permukaan.

Hasil ini kita masukkan ke sini, dan hasil itu kita masukkan ke situ.

Sekarang tinjau suatu integral yang untuk sementara tidak berhubungan dengan

Tapi kita lihat nanti akan ada relasinya.

Dan itu tujuan kita untuk menarik hubungan antara integral ini dengan integral yang akan saya tinjau.

Kalau saya mau mengintegralkan secara permukaan,

Jadi aturan parsial dari fungsi F terhadap Y diintegralkan untuk permukaan dx dy.