Handhika Satrio Ramadhan, S.Si., M.Sc., Ph.D.

Video ini membahas tentang turunan parsial dari vektor, di mana konsep turunan parsial terhadap salah satu komponennya dinyatakan mirip dengan turunan parsial fungsi skalar. Dengan menghitung limit perubahan komponen vektor terhadap perubahan variabel tertentu, kita dapat mendapatkan turunan parsialnya. Ekspresi turunan parsial dari vektor A terhadap X, Y, dan Z mengikuti prinsip yang sama. Hasilnya dapat digeneralisir untuk turunan parsial terhadap variabel lain dengan mudah. Turunan parsial dari vektor A terhadap X, Y, dan Z dapat diwakili sebagai kombinasi turunan parsial dari fungsi skalar komponen vektor tersebut.

Oke, sekarang bagaimana dengan bentuk turunan parsial dari Vector A ini?

Nah, turunan parsial dari suatu vektor terhadap salah satu obahnya itu dapat dinyatakan persis

sama atau dengan metode yang sama seperti kita mendefinisikan turunan parsial untuk suatu fungsi skalar.

Karena kita lihat bahwa turunan parsial A terhadap X misalnya, maka dia akan berarti turunan parsial AX terhadap X ditambah turunan parsial Y terhadap Y dan seterusnya.

Oke, jadi secara formal kalau saya punya Vector A sebagai berikut, kalau saya ingin mencari atau mengevaluasi dou A dou X,

berarti ini sama dengan saya menghitung limit berikut dari A X plus delta X, Y, Z

dikurang A X, Y, Z dibagi dengan delta X.

Dan Anda bisa generalisir untuk turunan parsial terhadap Y dan Z, kita tinggal mengubah delta Y dan delta Znya.

Di sini berarti kita ubah Y menjadi Y plus delta Y dan Z menjadi Z plus delta Z.

Nah, sekarang kalau saya lakukan ini sedangkan Vector A itu adalah seperti ini, maka hasilnya seperti apa?

Kalau ini kita jalankan secara eksplisit, sama seperti ketika kita mendefinisikan turunan total dari suatu Vector,

ini adalah A X, X plus delta X, Y, Z, min A X, X, Y, Z dibagi delta X,

ini arah I, ditambah A Y, X plus delta X, Y, Z dikurang A Y, X, Y, Z dibagi dengan delta X,

arah J, ditambah A Z, X plus delta X, Y, Z dikurang A Z, X, Y, Z dibagi delta X, ini arah K.

Oke, jadi ekspresinya seperti ini, ya kan?

Nah, kalau kita lihat bagian ini, masing-masing sukunya ini tiada lain daripada definisi turunan parsial dari fungsi skalar A X.

Ya kan? Turunan parsial dari fungsi skalar A Y, dan turunan parsial dari fungsi skalar A Z.

Do X, bagian ini, kalau kita perhatikan, ini tiada lain daripada definisi turunan parsial dari fungsi skalar A Y terhadap X.

Dan bagian ini adalah turunan parsial dari fungsi skalar A Z terhadap X.

Maka, kita bisa simpulkan bahwa do A, do X itu adalah do A X, do X arah I ditambah do A Y,

do X arah J ditambah do A Z, do X arah K.

Nah, hasil ini bisa dijeneralisir untuk turunan parsial terhadap Y maupun terhadap Z, dengan mudah kita bisa jeneralisir.